Математический анализ Примеры

$6 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = 12 x^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{1}{y}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$6 x + \frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2}$

Этап 1.1.2

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2} - 6 x$

Этап 1.1.3

Умножим обе части на $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

Этап 1.1.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = (12 x^{2} - 6 x) y$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} y - 6 x y$

Этап 1.2

Вынесем множитель $6 x y$ из $12 x^{2} y - 6 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $6 x y$ из $12 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) - 6 x y$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $6 x y$ из $- 6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $6 x y$ из $6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x - 1)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (6 x y (2 x - 1))$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y} (x y (2 x - 1))$

Этап 1.4.2

Объединим $6$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (x y (2 x - 1))$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y (2 x - 1)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

Этап 1.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

Этап 1.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x - 1))$

Этап 1.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x) + x \cdot - 1)$

Этап 1.4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x + x \cdot - 1)$

Этап 1.4.6

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x - 1 \cdot x)$

Этап 1.4.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x)$

Этап 1.4.7.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - 1 \cdot x)$

Этап 1.4.7.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - x)$

Этап 1.4.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2}) + 6 (- x)$

Этап 1.4.9

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} + 6 (- x)$

Этап 1.4.10

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} - 6 x$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = (12 x^{2} - 6 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} d x + \int - 6 x d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 \int x^{2} d x + \int - 6 x d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 6 x d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 \int x d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $12$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{12}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ в виде $e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$