Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \sin (x)$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \sin (x)$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$

Этап 2.3

Изменим порядок множителей в $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{2 x} \sin (x)$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{2 x} \sin (x)$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 x} y = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок $e^{2 x}$ и $\sin (x)$ .

$e^{2 x} y = \int \sin (x) e^{2 x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (x)$ и $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x$

Этап 6.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Этап 6.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Этап 6.4.2

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Этап 6.4.3

Изменим порядок $e^{2 x}$ и $\cos (x)$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (x) e^{2 x} d x)$

Этап 6.5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (x)$ и $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x))$

Этап 6.6

Поскольку $\frac{1}{2} \cdot - 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2} \cdot - 1$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Этап 6.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Этап 6.7.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Этап 6.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Этап 6.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Этап 6.7.5

Умножим $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Этап 6.7.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Этап 6.7.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Этап 6.7.6.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Этап 6.7.7

Умножим $\frac{- 1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Этап 6.7.8

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Этап 6.8

Найдя решение для $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ , получим $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Этап 6.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{5}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Этап 6.9.2

Перепишем $(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ в виде $(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Этап 6.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (x)$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x)}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Этап 6.9.3.2

Объединим $\frac{\sin (x)}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Этап 6.9.3.3

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x)}{4} e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Этап 6.9.3.4

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{\cos (x)}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos (x)}{4}) \frac{4}{5} + C$

Этап 6.9.4

Изменим порядок множителей в $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{e^{2 x}}{4} \cdot \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Этап 7.1.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{e^{2 x}}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Этап 7.1.3

Избавимся от скобок.

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Этап 7.2

Разделим каждый член $e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ на $e^{2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ на $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x)$ .

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $- \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ .

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x) - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (x)$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.3

Объединим $\frac{4}{5}$ и $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.2

Вынесем множитель $\frac{4 e^{2 x}}{5}$ из $\frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{4 e^{2 x}}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.3

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $4 e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2}{5} \sin (x) + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.6

Объединим $\frac{2}{5}$ и $\sin (x)$ .

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\cos (x)}{4}$ в числитель.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.7.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.7.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{1}{5} (- \cos (x)) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.8

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\cos (x)$ .

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} - \frac{\cos (x)}{5} + \frac{C}{e^{2 x}}$