Математический анализ Примеры

$y^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y^{3} = 6 x$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $2 x y^{3}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$ на $y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$ на $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Сократим общий множитель $y^{3}$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 2 x y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2} \cdot 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2} \cdot 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{1}$

Этап 1.1.2.3.1.2.4

Разделим $- 2 x y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} - 2 x y$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $\frac{6 x}{y^{2}} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $\frac{6 x}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3}{y^{2}} - 2 x y$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3}{y^{2}} + 2 x (- 1 y)$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x \frac{3}{y^{2}} + 2 x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - 1 y)$

Этап 1.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - y)$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $- y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - y \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}})$

Этап 1.2.4

Объединим $- y$ и $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} + \frac{- y \cdot y^{2}}{y^{2}})$

Этап 1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y \cdot y^{2}}{y^{2}}$

Этап 1.2.6

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Перенесем $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - (y^{2} y)}{y^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - (y^{2} y^{1})}{y^{2}}$

Этап 1.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{2 + 1}}{y^{2}}$

Этап 1.2.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$

Этап 1.2.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Объединим $2$ и $\frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Этап 1.2.7.2

Объединим $x$ и $\frac{2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 (3 - y^{3}))}{y^{2}}$

Этап 1.2.8

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Этап 1.2.9

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Этап 1.2.10

Умножим $2$ на $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{y^{2}}{3 - y^{3}}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} (2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} (x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

Этап 1.5.2

Объединим $2$ и $\frac{y^{2}}{3 - y^{3}}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3 - y^{3}} (x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

Этап 1.5.3

Объединим $x$ и $\frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $2 y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 2}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Этап 1.5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 2}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Этап 1.5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} (x (3 - y^{3}))$

Этап 1.5.5

Сократим общий множитель $3 - y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Вынесем множитель $3 - y^{3}$ из $x (3 - y^{3})$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} ((3 - y^{3}) x)$

Этап 1.5.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} ((3 - y^{3}) x)$

Этап 1.5.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} d y = 2 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} d y = \int 2 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $y^{3}$ в виде ${(y^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{y^{2}}{3 - {(y^{3})}^{1}} d y = \int 2 x d x$

Этап 2.2.2

Пусть $u_{1} = y^{3}$ . Тогда $d u_{1} = 3 y^{2} d y$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = y^{2} d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u_{1} = y^{3}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 2.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 y^{2}$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим.

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.3.2

Умножим $\frac{1}{3 - u_{1}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.3.3

Перенесем $3$ влево от $3 - u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.5

Пусть $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = - d u_{1}$ , следовательно $- d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Пусть $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.5.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int 2 x d x$

Этап 2.2.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C_{1})) = \int 2 x d x$

Этап 2.2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Упростим.

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.9.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 - u_{1}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.10.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y^{3}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.11

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) = x^{2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |)) = - 3 (x^{2} + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\ln (| 3 - y^{3} |)$ и $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3}$ в числитель.

$- 3 \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Умножим $\ln (| 3 - y^{3} |)$ на $1$ .

$\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 x^{2} - 3 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 3 - y^{3} |)} = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 x^{2} - 3 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x^{2} - 3 C} = | 3 - y^{3} |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| 3 - y^{3} | = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$ .

$| 3 - y^{3} | = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$3 - y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

Этап 3.5.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.5.4.2.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.5.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C})$ в виде $- (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C})$ .

$y^{3} = - (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.5.4.3.1.3

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$y^{3} = - (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + 3$

Этап 3.5.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + 3}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2} + C}) + 3}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- 3 x^{2} + C}$ в виде $e^{- 3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2}} e^{C}) + 3}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- 3 x^{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{C} e^{- 3 x^{2}}) + 3}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \sqrt[3]{- (C e^{- 3 x^{2}}) + 3}$