Математический анализ Примеры

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $(1 + e^{x}) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + e^{x}$ и $g (x) = y$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$(1 + e^{x}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $1 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + e^{x})$

Этап 1.6

Добавим $0$ и $e^{x}$ .

$(1 + e^{x}) y' + y e^{x}$

Этап 1.7

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + y e^{x}$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] = 0$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] d x = \int 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$(1 + e^{x}) y = \int 0 d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$(1 + e^{x}) y = 0 + C$

Этап 5.2

Добавим $0$ и $C$ .

$(1 + e^{x}) y = C$

Этап 6

Разделим каждый член $(1 + e^{x}) y = C$ на $1 + e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $(1 + e^{x}) y = C$ на $1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $1 + e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{C}{1 + e^{x}}$