Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{\sec (x)}{y})}^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sec (x)}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{y^{2}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{\sec^{2} (x)}{y^{2}}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{\sec^{2} (x)}{y^{2}}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = \sec^{2} (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.3

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \tan (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\tan (x) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\tan (x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\tan (x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (\tan (x) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 \tan (x) + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{3 \tan (x) + 3 K}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $3$ из $3 \tan (x) + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \tan (x)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\tan (x)) + 3 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (\tan (x)) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\tan (x) + K)}$