Математический анализ Примеры

$(x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ на $x + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ на $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{x + 1}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{x + 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y^{2} + 1)}{x + 1}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} (y^{2} + 1)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (\frac{x}{x + 1} (y^{2} + 1))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $y^{2} + 1$ из $\frac{x}{x + 1} (y^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) \frac{x}{x + 1})$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) \frac{x}{x + 1})$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $x$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Этап 2.3.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Этап 2.3.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Этап 2.3.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Этап 2.3.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Этап 2.3.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3.5

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$\arctan (y) + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\arctan (y) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Этап 3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (x - \ln (| x + 1 |) + C)$