Математический анализ Примеры

$(e^{x} + 1) d x + \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(e^{x} + 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (y^{2} - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.2

Умножим $(y^{2} - 1) y^{- 2}$ .

$\int y^{2} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $y^{2}$ на $y^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{2 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.3.1.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\int y^{0} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим $y^{0}$ .

$\int 1 - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.3.3

Перепишем $- 1 y^{- 2}$ в виде $- y^{- 2}$ .

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.7

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Упростим.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.2.8.2.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - \int e^{x} + 1 d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (\int e^{x} d x + \int d x)$

Этап 2.3.3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + \int d x)$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + x + C_{5})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + x) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y + \frac{1}{y} = - (e^{x} + x) + K$