Математический анализ Примеры

$(y - \frac{1}{y}) d x + (x + \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $y - \frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = - 1$ и $g (y) = \frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 1.3.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Этап 1.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Этап 1.3.6

Умножим $y^{- 2}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Этап 1.3.7

Умножим $\frac{1}{y}$ на $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + 0$

Этап 1.3.8

Добавим $y^{- 2}$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2}$

Этап 1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x + \frac{x}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{x}{y^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + \frac{x}{y^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{y^{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{y^{2}}$ по $x$ равна $\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{1}{y^{2}} + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $\frac{1}{y^{2}} + 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - \frac{1}{y} d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x + g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $(y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $(y - \frac{1}{y}) x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.3.2

По правилу суммы производная $y - \frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

$x (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.3.4

$x (1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.3.5

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$x (1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.3.9

Умножим $y^{- 2}$ на $1$ .

$x (1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.3.10

Умножим $\frac{1}{y}$ на $0$ .

$x (1 + y^{- 2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.3.11

Добавим $y^{- 2}$ и $0$ .

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (1 + \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot 1 + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

Умножим $x$ на $1$ .

$x + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.5.3.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x + \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 8.5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x = \frac{x}{y^{2}}$

Этап 9.1.2

Вычтем $\frac{x}{y^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Этап 9.1.3

Объединим противоположные члены в $\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} + 0 - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Этап 9.1.3.2

Добавим $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Этап 9.1.3.3

Вычтем $\frac{x}{y^{2}}$ из $\frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Этап 9.1.3.4

Добавим $\frac{d g}{d y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Этап 10

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Этап 10.3

Интеграл $0$ по $y$ имеет вид $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Этап 10.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (y) = C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = y x - \frac{1}{y} x + C$

Этап 12.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{x}{y} + C$