Математический анализ Примеры

$3 x y \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 9 y^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $3 x y \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 9 y^{2}$ на $3 x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $3 x y \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 9 y^{2}$ на $3 x y$ .

$\frac{3 x y \frac{d y}{d x}}{3 x y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x y \frac{d y}{d x}}{3 x y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Этап 1.1.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Этап 1.1.2.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x)}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Этап 1.1.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x)}{x (3 y)} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Этап 1.1.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x)}{x (3 y)} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Этап 1.1.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Этап 1.1.3.1.2

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 (3 y^{2})}{3 x y}$

Этап 1.1.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 (3 y^{2})}{3 (x y)}$

Этап 1.1.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 (3 y^{2})}{3 (x y)}$

Этап 1.1.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.3.1.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{y (3 y)}{x y}$

Этап 1.1.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{y (3 y)}{y x}$

Этап 1.1.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{y (3 y)}{y x}$

Этап 1.1.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 y}{x}$

Этап 1.2

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $f (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{4 x}{3 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{4 x}{3 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{4}{3} + \frac{3 y}{x}$

Этап 1.2.1.2

Изменим порядок $\frac{x}{y}$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} \cdot \frac{x}{y} + \frac{3 y}{x}$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{3 y}{x}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{3 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot 3$

Этап 1.3.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + 3 \cdot \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} V^{- 1} + 3 \cdot V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{4}{3} V^{- 1} + 3 \cdot V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{V} + 3 \cdot V$

Этап 6.1.1.1.2

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{4}{3 V} + 3 V$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} + 3 V - V$

Этап 6.1.1.2.2

Вычтем $V$ из $3 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} + 2 V$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} + 2 V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} + 2 V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{4}{3 V}}{x} + \frac{2 V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{4}{3 V}}{x} + \frac{2 V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{4}{3 V}}{x} + \frac{2 V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{2 V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.1.2

Умножим $\frac{4}{3 V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V x} + \frac{2 V}{x}$

Этап 6.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Чтобы записать $\frac{2 V}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 V}{3 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V x} + \frac{2 V}{x} \cdot \frac{3 V}{3 V}$

Этап 6.1.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 V x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Умножим $\frac{2 V}{x}$ на $\frac{3 V}{3 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V x} + \frac{2 V (3 V)}{x (3 V)}$

Этап 6.1.2.2.2

Изменим порядок множителей в $x (3 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V x} + \frac{2 V (3 V)}{3 V x}$

Этап 6.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 V (3 V)}{3 V x}$

Этап 6.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 \cdot 3 V \cdot V}{3 V x}$

Этап 6.1.2.4.2

Умножим $V$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.4.2.1

Перенесем $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 \cdot 3 (V \cdot V)}{3 V x}$

Этап 6.1.2.4.2.2

Умножим $V$ на $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 \cdot 3 V^{2}}{3 V x}$

Этап 6.1.2.4.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 6 V^{2}}{3 V x}$

Этап 6.1.2.4.4

Вынесем множитель $2$ из $4 + 6 V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2) + 6 V^{2}}{3 V x}$

Этап 6.1.2.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $6 V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2) + 2 (3 V^{2})}{3 V x}$

Этап 6.1.2.4.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (3 V^{2})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + 3 V^{2})}{3 V x}$

Этап 6.1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + 3 V^{2})}{3 V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.4

Умножим обе части на $\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})}$ .

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} (\frac{2 (2 + 3 V^{2})}{3 V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Объединим.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \cdot \frac{2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{3 V x}$

Этап 6.1.5.2

Объединим.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V (2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1)}{2 (2 + 3 V^{2}) (3 V x)}$

Этап 6.1.5.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V (2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1)}{2 (2 + 3 V^{2}) (3 V x)}$

Этап 6.1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1)}{2 (2 + 3 V^{2}) (V x)}$

Этап 6.1.5.4

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1)}{2 (2 + 3 V^{2}) (V x)}$

Этап 6.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{2 (2 + 3 V^{2}) (x)}$

Этап 6.1.5.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{2 (2 + 3 V^{2}) x}$

Этап 6.1.5.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{(2 + 3 V^{2}) (x)}$

Этап 6.1.5.6

Сократим общий множитель $2 + 3 V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{(2 + 3 V^{2}) x}$

Этап 6.1.5.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} \int \frac{V}{2 + 3 V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Пусть $u = 2 + 3 V^{2}$ . Тогда $d u = 6 V d V$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = V d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Пусть $u = 2 + 3 V^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Дифференцируем $2 + 3 V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [2 + 3 V^{2}]$

Этап 6.2.2.2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.2.1

По правилу суммы производная $2 + 3 V^{2}$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [3 V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [3 V^{2}]$

Этап 6.2.2.2.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $V$ , производная $2$ относительно $V$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [3 V^{2}]$

Этап 6.2.2.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d V} [3 V^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $V$ , производная $3 V^{2}$ по $V$ равна $3 \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Этап 6.2.2.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 3 (2 V)$

Этап 6.2.2.2.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$0 + 6 V$

Этап 6.2.2.2.1.4

Добавим $0$ и $6 V$ .

$6 V$

Этап 6.2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 6} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2

Перенесем $6$ влево от $u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{6 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{6 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{3}{12} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5.3

Сократим общий множитель $3$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{12} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Упростим.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.8

Заменим все вхождения $u$ на $2 + 3 V^{2}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим $4 (\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (| 2 + 3 V^{2} |)$ .

$4 \frac{\ln (| 2 + 3 V^{2} |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{\ln (| 2 + 3 V^{2} |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Этап 6.3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

Этап 6.3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Упростим $\ln (| 2 + 3 V^{2} |) - 4 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1.1

Упростим $- 4 \ln (| x |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Этап 6.3.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

Этап 6.3.4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}}) = 4 C$

Этап 6.3.5

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

Этап 6.3.6

Перепишем $\ln (\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}}) = 4 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}}$

Этап 6.3.7

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}} = e^{4 C}$ .

$\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}} = e^{4 C}$

Этап 6.3.7.2

Умножим обе части на $x^{4}$ .

$\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Этап 6.3.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Этап 6.3.7.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| 2 + 3 V^{2} | = e^{4 C} x^{4}$

Этап 6.3.7.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{4 C} x^{4}$ .

$| 2 + 3 V^{2} | = x^{4} e^{4 C}$

Этап 6.3.7.4

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.4.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 + 3 V^{2} = \pm x^{4} e^{4 C}$

Этап 6.3.7.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 V^{2} = \pm x^{4} e^{4 C} - 2$

Этап 6.3.7.4.3

Разделим каждый член $3 V^{2} = \pm x^{4} e^{4 C} - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.4.3.1

Разделим каждый член $3 V^{2} = \pm x^{4} e^{4 C} - 2$ на $3$ .

$\frac{3 V^{2}}{3} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

Этап 6.3.7.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.4.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 V^{2}}{3} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

Этап 6.3.7.4.3.2.1.2

Разделим $V^{2}$ на $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

Этап 6.3.7.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V^{2} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 6.3.7.4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} - \frac{2}{3}}$

Этап 6.3.7.4.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} - \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.4.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}{3}}$

Этап 6.3.7.4.5.2

Перепишем $\sqrt{\frac{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}}$

Этап 6.3.7.4.5.3

Умножим $\frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 6.3.7.4.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.4.5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.3.7.4.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 6.3.7.4.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 6.3.7.4.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.7.4.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 6.3.7.4.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.4.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.7.4.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.7.4.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.7.4.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.4.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.7.4.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 6.3.7.4.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3}$

Этап 6.3.7.4.5.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm x^{4} e^{4 C} - 2) \cdot 3}}{3}$

Этап 6.3.7.4.5.6

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(\pm x^{4} e^{4 C} - 2) \cdot 3}}{3}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{3 (\pm x^{4} e^{4 C} - 2)}}{3}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \pm \frac{\sqrt{3 (\pm x^{4} C - 2)}}{3}$

Этап 6.4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$V = \pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}) x$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}) x$

Этап 8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}) x$