Математический анализ Примеры

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 6 x$

Этап 1

Пусть $v = \frac{d y}{d x}$ . Тогда $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Подставим $v$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $\frac{d v}{d x}$ вместо $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , чтобы получить дифференциальное уравнение с зависимой переменной $v$ и независимой переменной $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$

Этап 2

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Этап 2.2.2

Разделим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Этап 2.3.2

Разделим $6$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 6$

Этап 2.4

Вынесем множитель $v$ из $\frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = 6$

Этап 2.5

Изменим порядок $v$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = 6$

Этап 3

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Этап 3.2

Проинтегрируем $\frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 3.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C_{1})}$

Этап 3.2.3

Упростим.

$e^{2 \ln (| x |) + C_{1}}$

Этап 3.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 \ln (x)}$

Этап 3.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{2})}$

Этап 3.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{2}$

Этап 4

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член на $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} \cdot 6$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\frac{2}{x}$ и $v$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} \cdot 6$

Этап 4.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} \cdot 6$

Этап 4.3

Перенесем $6$ влево от $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = 6 x^{2}$

Этап 5

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = 6 x^{2}$

Этап 6

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int 6 x^{2} d x$

Этап 7

Проинтегрируем левую часть.

$x^{2} v = \int 6 x^{2} d x$

Этап 8

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$x^{2} v = 6 \int x^{2} d x$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} v = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Этап 8.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Этап 8.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} v = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Этап 8.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$

Этап 9

Разделим каждый член $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{3}$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Этап 9.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Этап 9.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Этап 9.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$v = \frac{2 x}{1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Этап 9.3.1.2.4

Разделим $2 x$ на $1$ .

$v = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Этап 10

Заменим все вхождения $v$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Этап 11

Перепишем уравнение.

$d y = (2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}) d x$

Этап 12

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Этап 12.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{3} = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Этап 12.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Этап 12.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Этап 12.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Этап 12.3.4

Поскольку $C_{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $C_{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 12.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 12.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 12.3.5.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 12.3.5.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{- 2} d x$

Этап 12.3.6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} (- x^{- 1} + C_{5})$

Этап 12.3.7

Упростим.

$y + C_{3} = x^{2} + C_{2} (- x^{- 1}) + C_{6}$

Этап 12.3.8

Изменим порядок членов.

$y + C_{3} = x^{2} - C_{2} x^{- 1} + C_{6}$

Этап 12.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = x^{2} - C x^{- 1} + D$