Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} (\frac{1}{2} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Этап 1.2.2

Объединим.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{2 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $\sqrt{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $\sqrt{y}$ из $2 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (2 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (2 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{2 (\cos^{2} (\sqrt{y}))} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Этап 1.2.4

Сократим общий множитель $\cos^{2} (\sqrt{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $\cos^{2} (\sqrt{y})$ из $2 (\cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 2} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Этап 1.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 2} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Этап 1.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{2}$

Этап 1.2.5

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \frac{1}{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим на $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} (\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 1)} d y = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.1.2

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.1.3

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})}$ в $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.1.4

Умножим $\sqrt{y}$ на $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.1.5

Объединим $\frac{1}{\sqrt{y}}$ и $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\sqrt{y})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.2.3

Вынесем $y^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.2.4

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.2.4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.3

Пусть $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ , следовательно $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Пусть $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Дифференцируем $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 2.2.3.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 2.2.3.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.2.3.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.2.3.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 2.2.3.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 2.2.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.2.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.2.3.1.8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.2.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 2 \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.5

Поскольку производная $\tan (u)$ равна $\sec^{2} (u)$ , интеграл $\sec^{2} (u)$ равен $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u) + C_{1}) = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$2 \tan (u) + C_{1} = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \frac{1}{2} x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} x + K$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} x + K$ на $2$ .

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{2} x}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{2} x}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\tan (y^{\frac{1}{2}})$ на $1$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{1}{2} x}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{x}{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.3

Умножим $\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.3.1

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4} + \frac{K}{2}$

Этап 3.2

Подставим $u$ вместо $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (u) = \frac{x}{4} + \frac{K}{2}$

Этап 3.3

Изменим порядок $\frac{x}{4}$ и $\frac{K}{2}$ .

$\tan (u) = \frac{K}{2} + \frac{x}{4}$

Этап 3.4

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $u$ из тангенса.

$u = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})$

Этап 3.5

Подставить $y^{\frac{1}{2}}$ вместо $u$ и решить $y^{\frac{1}{2}} = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})}^{2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})}^{2}$

Этап 3.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})}^{2}$

Этап 3.5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})}^{2}$

Этап 3.5.2.1.2

Упростим.

$y = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})}^{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = {\arctan (K + \frac{x}{4})}^{2}$