Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{\ln (y)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{y}{\ln (y)}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{\ln (y)}{y}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} (x \frac{y}{\ln (y)})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $x$ и $\frac{y}{\ln (y)}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $\ln (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Этап 1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Этап 1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{\ln (y)}{y} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{\ln (y)}{y} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = \ln (y)$ . Тогда $d u = \frac{1}{y} d y$ , следовательно $y d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = \ln (y)$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Этап 2.2.1.1.2

Производная $\ln (y)$ по $y$ равна $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u d u = \int x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (y)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln^{2} (y)$ .

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln^{2} (y) = x^{2} + 2 K$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\ln (y) = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.3.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.3.2.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем $\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Этап 3.3.2.4

Перепишем уравнение в виде $y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Этап 3.3.2.5

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.3.2.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y)} = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Этап 3.3.2.7

Перепишем $\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Этап 3.3.2.8

Перепишем уравнение в виде $y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Этап 3.3.2.9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = e^{\sqrt{x^{2} + K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + K}}$