Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x - 4 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} - 4 x y$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 - 4 x y$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x (- 4 y)$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (1 - 4 y)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{1 - 4 y}$ .

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} (x (1 - 4 y))$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $1 - 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $1 - 4 y$ из $x (1 - 4 y)$ .

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) x)$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) x)$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 - 4 y} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 - 4 y} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 1 - 4 y$ . Тогда $d u = - 4 d y$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 1 - 4 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 - 4 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 4 y]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 4 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

Этап 2.2.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $y$ , производная $- 4 y$ по $y$ равна $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$0 - 4$

Этап 2.2.1.1.4

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u = \int x d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u = \int x d x$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int x d x$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $4$ влево от $u$ .

$\int - \frac{1}{4 u} d u = \int x d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{4 u} d u = \int x d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int x d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$- \frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 4 y$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |)) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\ln (| 1 - 4 y |)$ и $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}$ в числитель.

$- 4 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Умножим $\ln (| 1 - 4 y |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 \frac{x^{2}}{2} - 4 C$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 (- 2) \frac{x^{2}}{2} - 4 C$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 \cdot - 2 \frac{x^{2}}{2} - 4 C$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 x^{2} - 4 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 - 4 y |)} = e^{- 2 x^{2} - 4 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 x^{2} - 4 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x^{2} - 4 C} = | 1 - 4 y |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 - 4 y | = e^{- 2 x^{2} - 4 C}$ .

$| 1 - 4 y | = e^{- 2 x^{2} - 4 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - 4 y = \pm e^{- 2 x^{2} - 4 C}$

Этап 3.5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y = \pm e^{- 2 x^{2} - 4 C} - 1$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $- 4 y = \pm e^{- 2 x^{2} - 4 C} - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $- 4 y = \pm e^{- 2 x^{2} - 4 C} - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm e^{- 2 x^{2} - 4 C}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm e^{- 2 x^{2} - 4 C}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 x^{2} - 4 C}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1.1

Упростим $\frac{\pm e^{- 2 x^{2} - 4 C}}{- 4}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 x^{2} - 4 C}}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.5.4.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{\pm e^{- 2 x^{2} - 4 C}}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 3.5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{- 2 x^{2} - 4 C} + 1}{4}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\pm e^{- 2 x^{2} + C} + 1}{4}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- 2 x^{2} + C}$ в виде $e^{- 2 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 x^{2}} e^{C} + 1}{4}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- 2 x^{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x^{2}} + 1}{4}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \frac{C e^{- 2 x^{2}} + 1}{4}$