Математический анализ Примеры

$2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$ на $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d t}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sin (3 t)$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2}$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 (1)}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 \sin (3 t)}{1}$

Этап 1.3.2.4

Разделим $2 \sin (3 t)$ на $1$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = 2 \sin (3 t)$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} y = 2 \sin (3 t)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = \frac{- 1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 1}{2} d t}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\int - \frac{1}{2} d t}$

Этап 2.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- \frac{1}{2} t + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \frac{1}{2} t}$

Этап 2.4

Объединим $t$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- \frac{t}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- \frac{t}{2}} (\frac{- 1}{2} y) = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Этап 3.2.3

Объединим $e^{- \frac{t}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Этап 3.2.4

Объединим $y$ и $\frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] d t = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- \frac{t}{2}} y = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Этап 7.2

Пусть $u = - \frac{t}{2}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{2} d t$ , следовательно $- 2 d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Пусть $u = - \frac{t}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Дифференцируем $- \frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

Этап 7.2.1.2

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{t}{2}$ по $t$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 7.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 7.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (3 (- 2 u)) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 7.3.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Этап 7.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) (1 \cdot 2) d u$

Этап 7.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \cdot 2 d u$

Этап 7.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - 2 e^{u} \sin (- 6 u) d u$

Этап 7.4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 (- 2 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u)$

Этап 7.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u$

Этап 7.5.2

Изменим порядок $e^{u}$ и $\sin (- 6 u)$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int \sin (- 6 u) e^{u} d u$

Этап 7.6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = \sin (- 6 u)$ и $dv = e^{u}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (- 6 \cos (- 6 u)) d u)$

Этап 7.7

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - (- 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u))$

Этап 7.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u)$

Этап 7.8.2

Изменим порядок $e^{u}$ и $\cos (- 6 u)$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int \cos (- 6 u) e^{u} d u)$

Этап 7.9

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = \cos (- 6 u)$ и $dv = e^{u}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (6 \sin (- 6 u)) d u))$

Этап 7.10

Поскольку $6$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - (6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)))$

Этап 7.11

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

Этап 7.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) + 6 (- 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

Этап 7.11.3

Умножим $- 6$ на $6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) - 36 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)$

Этап 7.12

Найдя решение для $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ , получим $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ = $\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37} + C)$

Этап 7.13

Перепишем $- 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \cos (- 6 u) e^{u}}{37} + C)$ в виде $- 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

Этап 7.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.1

Объединим $- 4$ и $\frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = \frac{- 4 (e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u)))}{37} + C$

Этап 7.14.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

Этап 7.15

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (- 6 (- \frac{t}{2})) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Этап 7.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.16.1

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (6 \frac{t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Этап 7.16.2

Объединим $6$ и $\frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Этап 7.16.3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (6 \frac{t}{2}))}{37} + C$

Этап 7.16.4

Объединим $6$ и $\frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Этап 7.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.17.1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.17.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 t$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Этап 7.17.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.17.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Этап 7.17.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Этап 7.17.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{3 t}{1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Этап 7.17.1.2.4

Разделим $3 t$ на $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Этап 7.17.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 t$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2}))}{37} + C$

Этап 7.17.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.17.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}))}{37} + C$

Этап 7.17.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}))}{37} + C$

Этап 7.17.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{3 t}{1}))}{37} + C$

Этап 7.17.2.2.4

Разделим $3 t$ на $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + C$

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} e^{- \frac{1}{2} t} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $t$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} \cdot (e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))) + C$

Этап 8.1.2

Объединим $e^{- \frac{t}{2}}$ и $\frac{4}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

Этап 8.2

Разделим каждый член $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ на $e^{- \frac{t}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ на $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{- \frac{t}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Перенесем $4$ влево от $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$y = \frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Этап 8.2.3.1.2

Вынесем множитель $\frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37}$ из $\frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}}$ .

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} \cdot \frac{- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Этап 8.2.3.1.3

Объединим.

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Этап 8.2.3.1.4

Сократим общий множитель $e^{- \frac{t}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Этап 8.2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4 (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Этап 8.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{- 4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Этап 8.2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$