Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 25 e^{- 5 x}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 25 e^{- 5 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 25 e^{- 5 x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 25 e^{- 5 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $25$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $25$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 25 \int e^{- 5 x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = - 5 x$ . Тогда $d u = - 5 d x$ , следовательно $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = - 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 2.3.2.1.2

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 5$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 25 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = 25 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Этап 2.3.3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = 25 \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 25 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $25$ .

$y + C_{1} = - 25 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 2.3.6

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 25 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 25$ .

$y + C_{1} = \frac{- 25}{5} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.7.2

Сократим общий множитель $- 25$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 25$ .

$y + C_{1} = \frac{5 \cdot - 5}{5} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$y + C_{1} = \frac{5 \cdot - 5}{5 (1)} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{5 \cdot - 5}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 5}{1} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.7.2.2.4

Разделим $- 5$ на $1$ .

$y + C_{1} = - 5 \int e^{u} d u$

Этап 2.3.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 5 (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.9

Упростим.

$y + C_{1} = - 5 e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 x$ .

$y + C_{1} = - 5 e^{- 5 x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - 5 e^{- 5 x} + K$