Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 3 x + 2 y$

Этап 1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 3 x$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 2 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- 2 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (3 x)$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (3 x)$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 3 x e^{- 2 x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 3 x e^{- 2 x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- 2 x} y = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = 3 \int x e^{- 2 x} d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Этап 7.3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Этап 7.3.3

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 7.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 7.5.2

Умножим $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ на $1$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 7.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Этап 7.7

Пусть $u = - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Пусть $u = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 7.7.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 7.7.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 7.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Этап 7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Этап 7.8.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Этап 7.9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Этап 7.10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Этап 7.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Этап 7.11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Этап 7.12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Этап 7.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.13.1

Перепишем $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ в виде $3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.13.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2.2

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Этап 7.14

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 7.15

Изменим порядок членов.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x}) + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{2} \cdot x - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

Этап 8.1.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

Этап 8.1.3

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 8.2

Разделим каждый член $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ на $e^{- 2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ на $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2}) + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.2

Умножим $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = \frac{- 3 \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.3

Умножим $3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} - 3 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.5

Чтобы записать $- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.6.1

Умножим $\frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.8.1

Вынесем множитель $3 e^{- 2 x}$ из $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.8.1.1

Вынесем множитель $3 e^{- 2 x}$ из $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.8.1.2

Вынесем множитель $3 e^{- 2 x}$ из $- 3 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.8.1.3

Вынесем множитель $3 e^{- 2 x}$ из $3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.9

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.10

Объединим $C$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x) + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.12.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.12.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.12.4

Умножим $3$ на $- 2$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2.12.5

Перенесем $4$ влево от $C$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.4

Умножим $\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ на $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 e^{- 2 x} x$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x})$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $4 C$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.10.1

Перепишем $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ в виде $- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ .

$y = \frac{- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.10.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.10.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = - \frac{6 x e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$