Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 3 x y = 6 x$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 3 x y = 6 x$

Этап 1.1.1.2

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y = 6 x$

Этап 1.1.2

Вычтем $3 x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = 6 x - 3 x y$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = 6 x - 3 x y$

Этап 1.1.3.2

Возведем $\frac{d y}{d x}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = 6 x - 3 x y$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = 6 x - 3 x y$

Этап 1.1.3.4

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 6 x - 3 x y$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 6 x - 3 x y$ на $x^{2} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 6 x - 3 x y$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{6 x}{x^{2} + 1} + \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{6 x}{x^{2} + 1} + \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{x^{2} + 1} + \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 3 x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.1

Вынесем множитель $3 x$ из $6 x - 3 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.1.1

Вынесем множитель $3 x$ из $6 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (2) - 3 x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2.1.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (2) + 3 x (- 1 y)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2.1.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (2) + 3 x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (2 - 1 y)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (2 - y)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{x^{2} + 1} (2 - y)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{2 - y}$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (2 - y))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2 - y$ из $\frac{3 x}{x^{2} + 1} (2 - y)$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{2 - y} d y = \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 2 - y$ . Тогда $d u_{1} = - d y$ , следовательно $- d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 2 - y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 - y$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| 2 - y |) = \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$- \ln (| 2 - y |) = \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| 2 - y |) - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3

Чтобы записать $- \ln (| 2 - y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.4

Объединим $- \ln (| 2 - y |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| 2 - y |) \cdot 2}{2} - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \ln (| 2 - y |) \cdot 2 - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (| 2 - y |) \cdot 2 - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Изменим порядок $2$ и $- y$ .

$\frac{- \ln (| - y + 2 |) \cdot 2 - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.2

Перенесем $\ln (| - y + 2 |)$ .

$\frac{- 1 \cdot (2 \ln (| - y + 2 |)) - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 2 \ln (| - y + 2 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 2 |)) - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 2 |)) - (3 \ln (| x^{2} + 1 |))}{2} = C$

Этап 3.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \ln (| - y + 2 |)) - (3 \ln (| x^{2} + 1 |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |))}{2} = C$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \ln (| - y + 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.8

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим $- \frac{2 \ln (| - y + 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1.1

Упростим $2 \ln (| - y + 2 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \frac{\ln ({| - y + 2 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.8.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| - y + 2 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- \frac{\ln ({(- y + 2)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.8.1.1.3

Упростим $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$- \frac{\ln ({(- y + 2)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Этап 3.8.1.1.4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \frac{\ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Этап 3.8.1.2

Перепишем $\frac{\ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ .

$- (\frac{1}{2} \ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})) = C$

Этап 3.8.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$- \ln ({({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.8.1.4

Применим правило умножения к ${(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ .

$- \ln ({({(- y + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.8.1.5

Перемножим экспоненты в ${({(- y + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln ({(- y + 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.8.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$- \ln ({(- y + 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.8.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$- \ln ({(- y + 2)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.8.1.6

Упростим.

$- \ln ((- y + 2) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.8.1.7

Перемножим экспоненты в ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln ((- y + 2) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

Этап 3.8.1.7.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \ln ((- y + 2) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Этап 3.8.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Этап 3.9

Разделим каждый член $- \ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Разделим каждый член $- \ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Этап 3.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Этап 3.9.2.2

Разделим $\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ на $1$ .

$\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = \frac{C}{- 1}$

Этап 3.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = - 1 \cdot C$

Этап 3.9.3.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = - C$

Этап 3.10

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{- C}$

Этап 3.11

Перепишем $\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = - y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.12

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Перепишем уравнение в виде $- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C}$ .

$- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C}$

Этап 3.12.2

Вычтем $2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.12.3

Разделим каждый член $- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ на $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1

Разделим каждый член $- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ на $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.2.3

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.3.1

Чтобы записать $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.3.2

Чтобы записать $\frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.12.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.3.3.1

Умножим $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.12.3.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.12.3.3.3.3

Умножим ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.12.3.3.3.4

Умножим $\frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}$

Этап 3.12.3.3.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.3.3.6

Умножим ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.3.5.1

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.3.5.2

Перепишем $- 1 e^{- C}$ в виде $- e^{- C}$ .

$y = \frac{- e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = \frac{- e^{- C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{- e^{- C} - (- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.3.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{- C} - (- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ .

$y = \frac{- (e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.3.6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.3.6.3.1

Перепишем $- (e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ в виде $- 1 (e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ .

$y = \frac{- 1 (e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.12.3.3.6.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{C - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$