Математический анализ Примеры

$\ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{x}{y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Этап 1.3

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{x} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{x} \ln (x) d x = \frac{1}{y} d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{x} \ln (x) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\ln (x)$ .

$\int \frac{\ln (x)}{x} d x = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.2

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.2.2.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u d u = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) = \ln (| y |) + C$