Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x} i$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\frac{\sqrt{x}}{x}$ и $i$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x} i}{x} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $i$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $i$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = i \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.3.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.3.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.3.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Этап 2.3.3.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.3.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = i \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.3.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = i \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.3.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = i \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 2.3.3.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = i \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = i (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем $i (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $i \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = i \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y + C_{1} = 2 i x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 2 i x^{\frac{1}{2}} + K$