Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 x y - x$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (2 y) - x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = x (2 y) + x \cdot - 1$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (2 y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = x (2 y - 1)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{2 y - 1}$ .

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 1} (x (2 y - 1))$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $2 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2 y - 1$ из $x (2 y - 1)$ .

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 1} ((2 y - 1) x)$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 1} ((2 y - 1) x)$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{2 y - 1} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{2 y - 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 2 y - 1$ . Тогда $d u = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 2 y - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $2 y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.2.1.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $2 y - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 2 y - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 2 y - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 2 y - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln (| 2 y - 1 |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 2 y - 1 |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| 2 y - 1 |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 2 y - 1 |) = x^{2} + 2 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 2 y - 1 |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| 2 y - 1 |) = x^{2} + 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 2 y - 1 |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| 2 y - 1 | = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$| 2 y - 1 | = e^{x^{2} + 2 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 y - 1 = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

Этап 3.5.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} + 1$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} + 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} + 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C} + 1}{2}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + C} + 1}{2}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{x^{2} + C}$ в виде $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2}} e^{C} + 1}{2}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{x^{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x^{2}} + 1}{2}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \frac{C e^{x^{2}} + 1}{2}$