Математический анализ Примеры

$(2 x + 3) d x + (x^{2} - 1) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(2 x + 3) d x$ из обеих частей уравнения.

$(x^{2} - 1) d y = - (2 x + 3) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$1 d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 d y = - \frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + 3) d x$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1 d y = - \frac{1}{x^{2} - 1^{2}} (2 x + 3) d x$

Этап 3.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$1 d y = - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x + 3) d x$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$1 d y = (- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Этап 3.5

Умножим $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 d y = (- 2 \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} x - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Этап 3.5.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$1 d y = (\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} x - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Этап 3.5.3

Объединим $\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$ и $x$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Этап 3.6

Умножим $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} - 3 \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Этап 3.6.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Этап 3.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 d y = (- \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Этап 3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 d y = (- \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.5

Пусть $u_{1} = (x + 1) (x - 1)$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Пусть $u_{1} = (x + 1) (x - 1)$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1

Дифференцируем $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Этап 4.3.5.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.5.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.5.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.5.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.5.1.3.4.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.5.1.3.5

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.3.5.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.3.5.1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Этап 4.3.5.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Этап 4.3.5.1.3.8.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Этап 4.3.5.1.3.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Этап 4.3.5.1.3.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.3.8.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 x + 0$

Этап 4.3.5.1.3.8.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.6.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.8.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.8.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.9

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \int \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.11

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - (3 \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x)$

Этап 4.3.12

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.13

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Этап 4.3.13.1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 4.3.13.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.3.13.1.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.3.13.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.3.13.1.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.3.13.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.3.13.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1.6.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.3.13.1.6.1.2

Разделим $(A) (x - 1)$ на $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.3.13.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.3.13.1.6.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.3.13.1.6.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.3.13.1.6.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.3.13.1.6.5.2

Разделим $(B) (x + 1)$ на $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Этап 4.3.13.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Этап 4.3.13.1.6.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Этап 4.3.13.1.7

Перенесем $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Этап 4.3.13.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 4.3.13.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A + B$

Этап 4.3.13.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Этап 4.3.13.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Этап 4.3.13.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Этап 4.3.13.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 1 A + B$ на $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Этап 4.3.13.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.3.2.2.1

Упростим $- 1 (- B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.3.2.2.1.1

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.3.2.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Этап 4.3.13.3.2.2.1.1.2

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Этап 4.3.13.3.2.2.1.2

Добавим $B$ и $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.13.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Этап 4.3.13.3.3.2

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.3.3.2.1

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 4.3.13.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 4.3.13.3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 4.3.13.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.13.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.13.3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.13.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 4.3.13.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 4.3.13.5.2

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 4.3.13.5.3

Перенесем $2$ влево от $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 4.3.13.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Этап 4.3.13.5.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x - 1}$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 4.3.14

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Этап 4.3.15

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Этап 4.3.16

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Этап 4.3.17

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.17.1

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.17.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.17.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.17.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.17.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.3.17.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.3.17.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Этап 4.3.18

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Этап 4.3.19

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Этап 4.3.20

Пусть $u_{3} = x - 1$ . Тогда $d u_{3} = d x$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.20.1

Пусть $u_{3} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.20.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 4.3.20.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.3.20.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.3.20.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.3.20.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.3.20.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Этап 4.3.21

Интеграл $\frac{1}{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\ln (| u_{3} |)$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{3} |) + C_{4}))$

Этап 4.3.22

Упростим.

$y + C_{1} = - \ln (| u_{1} |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

Этап 4.3.23

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.23.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

Этап 4.3.23.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

Этап 4.3.23.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $x - 1$ .

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$