Математический анализ Примеры

$2 y d x + 3 x d y = 0$

Этап 1

Вычтем $2 y d x$ из обеих частей уравнения.

$3 x d y = - 2 y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Этап 3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3}{y} d y = - 2 \frac{1}{x y} y d x$

Этап 3.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y} y d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.5

Упростим.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$3 \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Упростим $3 \ln (| y |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{3}) + 2 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Этап 5.2.1.1.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{2}) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} x^{2}) = C$

Этап 5.2.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln ({| y |}^{3} x^{2})$ .

$\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} {| y |}^{3})} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} {| y |}^{3}$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ .

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим ${| y |}^{3}$ на $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Этап 5.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$

Этап 5.5.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 5.5.4.2

Умножим $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Этап 5.5.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Этап 5.5.4.3.2

Возведем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в степень $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Этап 5.5.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Этап 5.5.4.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Этап 5.5.4.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ в виде $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Этап 5.5.4.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.5.4.3.5.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Этап 5.5.4.3.5.4

Умножим $2$ на $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Этап 5.5.4.3.5.5

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.5.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Этап 5.5.4.3.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.5.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Этап 5.5.4.3.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Этап 5.5.4.3.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Этап 5.5.4.3.5.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.4.3

Вынесем $x^{3}$ за скобки.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.4.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.4.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.5.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \sqrt[3]{e^{C} x}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.5.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Этап 5.5.4.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Этап 5.5.4.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$

Этап 5.5.4.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Этап 5.5.5

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x}$