Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{3}$ , $y (- 1) = 2$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = x^{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{3} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $- 1$ вместо $x$ и $2$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ .

$2 = \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1 + K = 2$

Этап 4.2.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} + K = 2$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{1}{4}$ из обеих частей уравнения.

$K = 2 - \frac{1}{4}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$K = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 4.3.3

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$K = \frac{8 - 1}{4}$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $1$ из $8$ .

$K = \frac{7}{4}$

Этап 5

Подставим $\frac{7}{4}$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{7}{4}$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{7}{4}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{4}$