Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (x)}$

Этап 1.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x \cdot x}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x \cdot x}$

Этап 2.3.3

Перепишем это выражение.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$x y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$x y = \ln (| x |) + C$

Этап 7

Разделим каждый член $x y = \ln (| x |) + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $x y = \ln (| x |) + C$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$