Математический анализ Примеры

$y \frac{d x}{d y} - x = 2 y^{2}$ , $y (1) = 5$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $y \frac{d x}{d y} - x = 2 y^{2}$ на $y$ .

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d x}{d y}$ на $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y}$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y^{1}}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Этап 1.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Этап 1.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y}{1}$

Этап 1.3.2.5

Разделим $2 y$ на $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = 2 y$

Этап 1.4

Вынесем множитель $x$ из $\frac{- x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{- 1}{y} = 2 y$

Этап 1.5

Изменим порядок $x$ и $\frac{- 1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 1}{y} x = 2 y$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (y) d y}$ , где $P (y) = \frac{- 1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 1}{y} d y}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Этап 2.2.4

Упростим.

$e^{- \ln (| y |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (y)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (y^{- 1})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$y^{- 1}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d x}{d y} + \frac{1}{y} (\frac{- 1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{y}$ и $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} + \frac{1}{y} (\frac{- 1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} + \frac{1}{y} (- \frac{1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{1}{y} (\frac{1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{1}{y}$ и $x$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Этап 3.2.5

Умножим $- \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{x}{y}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y \cdot y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Этап 3.2.5.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1} y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Этап 3.2.5.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1} y^{1}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Этап 3.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1 + 1}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Этап 3.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = 2 \frac{1}{y} y$

Этап 3.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2}{y} y$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2}{y} y$

Этап 3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = 2$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} x] = 2$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d y} [\frac{1}{y} x] d y = \int 2 d y$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{y} x = \int 2 d y$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{y} x = 2 y + C$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{y}$ и $x$ .

$\frac{x}{y} = 2 y + C$

Этап 8.2

Умножим обе части на $y$ .

$\frac{x}{y} y = (2 y + C) y$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{y} y = (2 y + C) y$

Этап 8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = (2 y + C) y$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $(2 y + C) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 2 y \cdot y + C y$

Этап 8.3.2.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1

Перенесем $y$ .

$x = 2 (y \cdot y) + C y$

Этап 8.3.2.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$x = 2 y^{2} + C y$

Этап 8.3.2.1.3

Изменим порядок $2 y^{2}$ и $C y$ .

$x = C y + 2 y^{2}$

Этап 9

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $y$ и $5$ вместо $x$ в $x = C y + 2 y^{2}$ .

$5 = C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2}$

Этап 10

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} = 5$ .

$C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} = 5$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $C$ на $1$ .

$C + 2 \cdot 1^{2} = 5$

Этап 10.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$C + 2 \cdot 1 = 5$

Этап 10.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$C + 2 = 5$

Этап 10.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$C = 5 - 2$

Этап 10.3.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$C = 3$

Этап 11

Подставим $3$ вместо $C$ в $x = C y + 2 y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим $3$ вместо $C$ .

$x = 3 y + 2 y^{2}$