Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 1 + 4 y^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{1 + 4 y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $1 + 4 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $1 + 4 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $1$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + y^{2})} d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{1}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.5.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (y \cdot 2) + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.5.1.4

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.5.2

Перепишем $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1})$ в виде $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.5.3.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Каждый член в $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (2 y)$ .

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Этап 3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\arctan (2 y) = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\arctan (2 y) = 2 \cdot x + K \cdot 2$

Этап 3.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $K$ .

$\arctan (2 y) = 2 x + 2 K$

Этап 3.2

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$2 y = \tan (2 x + 2 K)$

Этап 3.3

Разделим каждый член $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\tan (2 x + K)}{2}$