Математический анализ Примеры

$(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$ на $1 + x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$ на $1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{4 y}{1 + x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{4 y}{1 + x}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + x}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{1 + x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{1 + x}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{1 + x}$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{1 + x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 1 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 4 \ln (| 1 + x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - 4 \ln (| 1 + x |) = C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\ln (| y |) - 4 \ln (| 1 + x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Упростим $- 4 \ln (| 1 + x |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\ln (| y |) - \ln ({| 1 + x |}^{4}) = C$

Этап 3.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| 1 + x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) - \ln ({(1 + x)}^{4}) = C$

Этап 3.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на ${(1 + x)}^{4}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} {(1 + x)}^{4} = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель ${(1 + x)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} {(1 + x)}^{4} = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Упростим $e^{C} {(1 + x)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$| y | = e^{C} (1^{4} + 4 \cdot 1^{3} x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Этап 3.5.4.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$| y | = e^{C} (1 + 4 \cdot 1^{3} x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Этап 3.5.4.1.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$| y | = e^{C} (1 + 4 \cdot 1 x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Этап 3.5.4.1.2.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Этап 3.5.4.1.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 \cdot 1 x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Этап 3.5.4.1.2.1.5

Умножим $6$ на $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Этап 3.5.4.1.2.1.6

Умножим $4$ на $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4})$

Этап 3.5.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} \cdot 1 + e^{C} (4 x) + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

Этап 3.5.4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.3.1

Умножим $e^{C}$ на $1$ .

$| y | = e^{C} + e^{C} (4 x) + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

Этап 3.5.4.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

Этап 3.5.4.1.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

Этап 3.5.4.1.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + 4 e^{C} x^{3} + e^{C} x^{4}$

Этап 3.5.4.1.4

Изменим порядок множителей в $e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + 4 e^{C} x^{3} + e^{C} x^{4}$ .

$| y | = e^{C} + 4 x e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C}$

Этап 3.5.4.1.5

Перенесем $e^{C}$ .

$| y | = 4 x e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + e^{C}$

Этап 3.5.4.1.6

Перенесем $4 x e^{C}$ .

$| y | = 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

Этап 3.5.4.1.7

Перенесем $6 x^{2} e^{C}$ .

$| y | = 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

Этап 3.5.4.1.8

Изменим порядок $4 x^{3} e^{C}$ и $x^{4} e^{C}$ .

$| y | = x^{4} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{4} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C})$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm (x^{4} C + 4 x^{3} C + 6 x^{2} C + 4 x C + C)$