Математический анализ Примеры

$x y^{2} d x - x^{2} y^{2} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x y^{2} d x$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} y^{2} d y = - x y^{2} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2} y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 d y = - \frac{1}{x^{2} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2} y^{2}}$ в числитель.

$- 1 d y = \frac{- 1}{x^{2} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $x y^{2}$ из $x^{2} y^{2}$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{x y^{2} (x)} (x y^{2}) d x$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель.

$- 1 d y = \frac{- 1}{x y^{2} x} (x y^{2}) d x$

Этап 3.4.4

Перепишем это выражение.

$- 1 d y = \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 1 d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- y + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$- y + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- y = - \ln (| x |) + C$

Этап 5

Разделим каждый член $- y = - \ln (| x |) + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- y = - \ln (| x |) + C$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.2

Разделим $\ln (| x |)$ на $1$ .

$y = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$y = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Этап 5.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$y = \ln (| x |) - C$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \ln (| x |) + C$