Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (\frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x)) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int - \sec^{2} (7 x) d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int - \sec^{2} (7 x) d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \sec^{2} (7 x) d x$

Этап 2.3.4

Пусть $u = 7 x$ . Тогда $d u = 7 d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Пусть $u = 7 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Дифференцируем $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 2.3.4.1.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Этап 2.3.4.1.4

Умножим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 2.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \sec^{2} (u) \frac{1}{7} d u$

Этап 2.3.5

Объединим $\sec^{2} (u)$ и $\frac{1}{7}$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{\sec^{2} (u)}{7} d u$

Этап 2.3.6

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - (\frac{1}{7} \int \sec^{2} (u) d u)$

Этап 2.3.7

Поскольку производная $\tan (u)$ равна $\sec^{2} (u)$ , интеграл $\sec^{2} (u)$ равен $\tan (u)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \frac{1}{7} (\tan (u) + C_{3})$

Этап 2.3.8

Упростим.

$y + C_{1} = \ln (| x |) - \frac{1}{7} \tan (u) + C_{4}$

Этап 2.3.9

Заменим все вхождения $u$ на $7 x$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) - \frac{1}{7} \tan (7 x) + C_{4}$

Этап 2.3.10

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - \frac{1}{7} \tan (7 x) + \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = - \frac{1}{7} \tan (7 x) + \ln (| x |) + C$