Математический анализ Примеры

$(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - 2 y^{3} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} + 1]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $- 2 y^{3} + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y^{3}$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $- 6 y^{2}$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 3 x y^{2} + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + x^{3}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $3 x y^{2} + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y^{2}$ по $x$ равна $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 3 x^{2}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 6 y^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $3 x^{2} + 3 y^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 6 y^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 6 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $3 x^{2} + 3 y^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{N}$

Этап 4.3

Подставим $3 x y^{2} + x^{3}$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $3 x y^{2} + x^{3}$ вместо $N$ .

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2}) - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - 3 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $3 y^{2}$ из $- 6 y^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2} - 9 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9 y^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $3 x y^{2} + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x y^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x^{3}}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- x^{2} - 3 y^{2}$ и $3 y^{2} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{3 (- (x^{2}) - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y^{2}$ .

$\frac{3 (- (x^{2}) - (3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (3 y^{2})$ .

$\frac{3 (- (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $- (x^{2} + 3 y^{2})$ в виде $- 1 (x^{2} + 3 y^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Этап 4.3.4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

Этап 4.3.4.6

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

Этап 4.3.4.7

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

Этап 4.3.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 3 \ln (| x |)$ путем переноса $- 3$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Этап 5.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 2 y^{3} + 1$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(- 2 y^{3} + 1) \frac{1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $- 2 y^{3} + 1$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2 y^{3} + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y^{3}$ .

$\frac{- (2 y^{3}) + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Этап 6.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y^{3}) - 1 (- 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Этап 6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y^{3}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Этап 6.6

Перепишем $- (2 y^{3} - 1)$ в виде $- 1 (2 y^{3} - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Этап 6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Этап 6.8

Умножим $3 x y^{2} + x^{3}$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.9

Умножим $3 x y^{2} + x^{3}$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 x y^{2} + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.10

Вынесем множитель $x$ из $3 x y^{2} + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x y^{2}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.10.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.10.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Этап 6.11.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Этап 6.11.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $\frac{1}{x^{2}}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{x^{2}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int 3 y^{2} + x^{2} d y$

Этап 8.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int 3 y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

Этап 8.3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 \int y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int x^{2} d y)$

Этап 8.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + x^{2} y + C)$

Этап 8.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + x^{2} y + C)$

Этап 8.7

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ и $g (x) = y^{3} + x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + x^{2} y] + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.2

По правилу суммы производная $y^{3} + x^{2} y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.3

Поскольку $y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.4

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.6

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.9

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + 2 \cdot y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.10

Добавим $0$ и $2 y x$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.11

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} (y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.12

Объединим $y$ и $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{x^{2}} x + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.13

Объединим $\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ и $x$ .

$\frac{y \cdot 2 x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.14

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{2 \cdot y x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.15

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.15.1

Вынесем множитель $x$ из $2 y x$ .

$\frac{x (2 y)}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.15.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.16

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.16.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.16.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.17

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.18

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.20

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.21

Чтобы записать $(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 y}{x} + \frac{(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.23

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 3}))}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.24

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 3})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.3.25

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 y + y^{3} (- 2 \frac{1}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y + y^{3} \frac{- 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 y + y^{3} (- \frac{2}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.3

Объединим $y^{3}$ и $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.4

Перенесем $2$ влево от $y^{3}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 \cdot y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y \frac{- 2}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- \frac{2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.7

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + y (- \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.8

Объединим $y$ и $\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (x^{2} \cdot 2)}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.9

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (2 \cdot x^{2})}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.10

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.11

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.11.2

Разделим $2 y$ на $1$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - (2 y)}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.12

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - 2 y}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.13

Вычтем $2 y$ из $2 y$ .

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + 0}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.14

Добавим $- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ и $0$ .

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.15

Перепишем $\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x}$ в виде произведения.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.16

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.17

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.17.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.17.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.17.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.17.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 11.5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Добавим $\frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{3} + 2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Добавим $- 2 y^{3}$ и $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $\frac{1}{x^{3}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{1}{x^{3}}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 13.3

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 13.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 13.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

Этап 13.5

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Этап 13.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Перепишем $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 13.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

Этап 13.6.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

Этап 13.6.2.3

Умножим $2$ на $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $y^{3} + x^{2} y$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{3} + x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.1.2.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + y x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.1.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y^{2} + y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.2

Чтобы записать $\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{(y \cdot y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.5.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{1} y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \frac{(y^{1 + 2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.5.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{y^{3} \cdot 2 + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.5.4

Перенесем $2$ влево от $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.5.5

Перенесем $2$ влево от $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + 2 \cdot (y x^{2}) - 1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.5.6

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = \frac{2 y^{3} + 2 y x^{2} - 1}{2 x^{2}} + C$