Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $2 y - 4$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 (x) - 4}{2 y - 4}$

Этап 1.2.1.1.2

Запишем $4$ как $- 2$ плюс $6$

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + (- 2 + 6) x - 4}{2 y - 4}$

Этап 1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} - 2 x + 6 x - 4}{2 y - 4}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x^{2} - 2 x) + 6 x - 4}{2 y - 4}$

Этап 1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{x (3 x - 2) + 2 (3 x - 2)}{2 y - 4}$

Этап 1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y - 4}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y) - 4}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y + 2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 y + 2 \cdot - 2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$

Этап 1.2.3

Умножим $2 y - 4$ на $\frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))}{2 (y - 2)}$

Этап 1.2.4

Сократим общий множитель $2 y - 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

Этап 1.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

Этап 1.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

Этап 1.2.5.2

Разделим $(3 x - 2) (x + 2)$ на $1$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (3 x - 2) (x + 2)$

Этап 1.2.6

Развернем $(3 x - 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x (x + 2) - 2 (x + 2)$

Этап 1.2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 (x + 2)$

Этап 1.2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Этап 1.2.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1.1

Перенесем $x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Этап 1.2.7.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Этап 1.2.7.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 2 \cdot 2$

Этап 1.2.7.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 4$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $2 x$ из $6 x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x - 4$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(2 y - 4) d y = (3 x^{2} + 4 x - 4) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 2 y - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Этап 2.2.5.2

Упростим.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int - 4 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int - 4 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Этап 2.3.7.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + C_{7}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y^{2} - 4 y = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 4 y - x^{3} = 2 x^{2} - 4 x + K$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} = - 4 x + K$

Этап 3.1.3

Добавим $4 x$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x = K$

Этап 3.1.4

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K = 0$

Этап 3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.3

Перепишем $- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.3.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.3.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$

Этап 3.4.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

Этап 3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$