Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 5} y = {(x - 5)}^{2}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{1}{x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{x - 5} d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $\frac{1}{x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть $u = x - 5$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Пусть $u = x - 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Дифференцируем $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.2.1.1.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.1.1.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Этап 1.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$e^{\ln (| x - 5 |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (x - 5)}$

Этап 1.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x - 5$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $x - 5$ .

$(x - 5) \frac{d y}{d x} + (x - 5) (\frac{1}{x - 5} y) = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) (\frac{1}{x - 5} y) = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Этап 2.2.2

Объединим $\frac{1}{x - 5}$ и $y$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) \frac{y}{x - 5} = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) \frac{y}{x - 5} = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Этап 2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Этап 2.3

Умножим $x - 5$ на ${(x - 5)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $x - 5$ на ${(x - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{1 + 2}$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{3}$

Этап 2.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Этап 2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Этап 2.5.2

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Этап 2.5.3

Умножим $25$ на $3$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

Этап 2.5.4

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [(x - 5) y] = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 5) y] d x = \int x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$(x - 5) y = \int x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$(x - 5) y = \int x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Этап 6.2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 15 x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Этап 6.3

Поскольку $- 15$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 15$ из-под знака интеграла.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 \int x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Этап 6.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Этап 6.5

Поскольку $75$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $75$ из-под знака интеграла.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 \int x d x + \int - 125 d x$

Этап 6.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 125 d x$

Этап 6.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 125 x + C$

Этап 6.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 125 x + C$

Этап 6.8.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 75 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 125 x + C$

Этап 6.8.2

Упростим.

$(x - 5) y = \frac{x^{4}}{4} - 5 x^{3} + \frac{75 x^{2}}{2} - 125 x + C$

Этап 6.8.3

Изменим порядок членов.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$

Этап 7

Разделим каждый член $(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$ на $x - 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$ на $x - 5$ .

$\frac{(x - 5) y}{x - 5} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 5) y}{x - 5} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$y = \frac{\frac{x^{4}}{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.1.3

Умножим $\frac{x^{4}}{4}$ на $\frac{1}{x - 5}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.1.5

Объединим $\frac{75}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75 x^{2}}{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.1.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.1.7

Умножим $\frac{75 x^{2}}{2}$ на $\frac{1}{x - 5}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.2

Чтобы записать $- \frac{5 x^{3}}{x - 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4 (x - 5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим $\frac{5 x^{3}}{x - 5}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3} \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x - 5) \cdot 4$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{4} - 5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} - 5 x^{3} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{3} x - 5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.5.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 5 x^{3} \cdot 4$ .

$y = \frac{x^{3} x + x^{3} (- 5 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.5.1.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x + x^{3} (- 5 \cdot 4)$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 5 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.5.2

Умножим $- 5$ на $4$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.6

Чтобы записать $\frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4 (x - 5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.1

Умножим $\frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2} \cdot 2}{2 (x - 5) \cdot 2} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{3} (x - 20) + 75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.9.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} (x - 20) + 75 x^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.9.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} (x - 20)$ .

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20)) + 75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.9.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $75 x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20)) + x^{2} (75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.9.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x (x - 20)) + x^{2} (75 \cdot 2)$ .

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20) + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 20 + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.9.3

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} + x \cdot - 20 + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.9.4

Перенесем $- 20$ влево от $x$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 \cdot x + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.9.5

Умножим $75$ на $2$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.10

Чтобы записать $- \frac{125 x}{x - 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.11

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4 (x - 5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.11.1

Умножим $\frac{125 x}{x - 5}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.11.2

Изменим порядок множителей в $(x - 5) \cdot 4$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150) - 125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.13.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (x^{2} - 20 x + 150) - 125 x \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.13.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)$ .

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150)) - 125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.13.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 125 x \cdot 4$ .

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150)) + x (- 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.13.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x (x^{2} - 20 x + 150)) + x (- 125 \cdot 4)$ .

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150) - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x (x \cdot x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.13.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.13.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.13.3.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.13.3.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x (x^{1} x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.13.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x (x^{1 + 2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.13.3.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{x (x^{3} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.13.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x \cdot x + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.13.3.3

Перенесем $150$ влево от $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x \cdot x + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.13.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.13.4.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 (x \cdot x) + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.13.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.13.5

Умножим $- 125$ на $4$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.13.6

Разложим $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.13.6.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 500, \pm 2, \pm 250, \pm 4, \pm 125, \pm 5, \pm 100, \pm 10, \pm 50, \pm 20, \pm 25$

$q = \pm 1$

Этап 7.3.13.6.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 500, \pm 2, \pm 250, \pm 4, \pm 125, \pm 5, \pm 100, \pm 10, \pm 50, \pm 20, \pm 25$

Этап 7.3.13.6.3

Подставим $10$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $10$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.13.6.3.1

Подставим $10$ в многочлен.

$10^{3} - 20 \cdot 10^{2} + 150 \cdot 10 - 500$

Этап 7.3.13.6.3.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$1000 - 20 \cdot 10^{2} + 150 \cdot 10 - 500$

Этап 7.3.13.6.3.3

Возведем $10$ в степень $2$ .

$1000 - 20 \cdot 100 + 150 \cdot 10 - 500$

Этап 7.3.13.6.3.4

Умножим $- 20$ на $100$ .

$1000 - 2000 + 150 \cdot 10 - 500$

Этап 7.3.13.6.3.5

Вычтем $2000$ из $1000$ .

$- 1000 + 150 \cdot 10 - 500$

Этап 7.3.13.6.3.6

Умножим $150$ на $10$ .

$- 1000 + 1500 - 500$

Этап 7.3.13.6.3.7

Добавим $- 1000$ и $1500$ .

$500 - 500$

Этап 7.3.13.6.3.8

Вычтем $500$ из $500$ .

$0$

Этап 7.3.13.6.4

Поскольку $10$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 10$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500}{x - 10}$

Этап 7.3.13.6.5

Разделим $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ на $x - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.13.6.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$10$

$x^{3}$

$20 x^{2}$

$150 x$

$500$

Этап 7.3.13.6.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$

Этап 7.3.13.6.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			+	$x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Этап 7.3.13.6.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 10 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Этап 7.3.13.6.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Этап 7.3.13.6.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$

Этап 7.3.13.6.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$

Этап 7.3.13.6.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$100 x$

Этап 7.3.13.6.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x^{2} + 100 x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$

Этап 7.3.13.6.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$

Этап 7.3.13.6.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$

Этап 7.3.13.6.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $50 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$

Этап 7.3.13.6.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							+	$50 x$	-	$500$

Этап 7.3.13.6.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $50 x - 500$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							-	$50 x$	+	$500$

Этап 7.3.13.6.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							-	$50 x$	+	$500$
										$0$

Этап 7.3.13.6.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 10 x + 50$

Этап 7.3.13.6.6

Запишем $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ в виде набора множителей.

$y = \frac{x ((x - 10) (x^{2} - 10 x + 50))}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 7.3.14

Чтобы записать $\frac{C}{x - 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.3.15

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4 (x - 5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.15.1

Умножим $\frac{C}{x - 5}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4}$

Этап 7.3.15.2

Изменим порядок множителей в $(x - 5) \cdot 4$ .

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.3

Перенесем $- 10$ влево от $x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 10 \cdot x) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.4

Развернем $(x^{2} - 10 x) (x^{2} - 10 x + 50)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$y = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.17.5.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.17.5.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{2 + 2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{x^{4} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{2} x + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.17.5.3.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.17.5.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.4

Перенесем $50$ влево от $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 \cdot x^{2} - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.17.5.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 (x^{2} x) - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.17.5.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 (x^{2} x^{1}) - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{2 + 1} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 x \cdot x - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.17.5.7.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 (x \cdot x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 x^{2} - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.8

Умножим $- 10$ на $- 10$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} + 100 x^{2} - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.5.9

Умножим $50$ на $- 10$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} + 100 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.6

Вычтем $10 x^{3}$ из $- 10 x^{3}$ .

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 50 x^{2} + 100 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.7

Добавим $50 x^{2}$ и $100 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Этап 7.3.17.8

Перенесем $4$ влево от $C$ .

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2} - 500 x + 4 C}{4 (x - 5)}$