Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + (\tan (x)) y = \sin (x)$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \tan (x) d x}$

Этап 1.2

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (\sec (x))}$

Этап 1.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\sec (x)$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) ((\tan (x)) y) = \sec (x) \sin (x)$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \sec (x) ((\tan (x)) y) = \sec (x) \sin (x)$

Этап 2.2.2

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \sec (x) ((\tan (x)) y) = \sec (x) \sin (x)$

Этап 2.2.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} ((\tan (x)) y) = \sec (x) \sin (x)$

Этап 2.2.4

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \sin (x)$

Этап 2.2.5

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \sec (x) \sin (x)$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \sec (x) \sin (x)$

Этап 2.2.6.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec (x) \sin (x)$

Этап 2.2.6.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec (x) \sin (x)$

Этап 2.2.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec (x) \sin (x)$

Этап 2.2.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \sec (x) \sin (x)$

Этап 2.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим дроби.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.5.3

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.5.4

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.5.5

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.5.6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.5.7

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.5.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.5.9

Разделим $y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \tan (x)$

Этап 2.7

Изменим порядок множителей в $\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \tan (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \tan (x)$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \tan (x)$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \tan (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$\sec (x) y = \int \tan (x) d x$

Этап 6

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) |) + C$

Этап 7

Разделим каждый член $\sec (x) y = \ln (| \sec (x) |) + C$ на $\sec (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $\sec (x) y = \ln (| \sec (x) |) + C$ на $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Разделим дроби.

$y = \frac{\ln (| \sec (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.3.1.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$y = \frac{\ln (| \sec (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.3.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) |)}{1} (1 \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.3.1.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) |)}{1} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.3.1.5

Разделим $\ln (| \sec (x) |)$ на $1$ .

$y = \ln (| \sec (x) |) \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.3.1.6

Разделим дроби.

$y = \ln (| \sec (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Этап 7.3.1.7

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$y = \ln (| \sec (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Этап 7.3.1.8

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \ln (| \sec (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Этап 7.3.1.9

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$y = \ln (| \sec (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Этап 7.3.1.10

Разделим $C$ на $1$ .

$y = \ln (| \sec (x) |) \cos (x) + C \cos (x)$