Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 y + x^{2} + 5$

Этап 1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = x^{2} + 5$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 2 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- 2 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 5$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 5$

Этап 3.3

Перенесем $5$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x^{2} + 5 e^{- 2 x}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x^{2} + 5 e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- 2 x} y = \int x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{- 2 x} y = \int x^{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = x^{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = x^{2} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.3.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.4

Поскольку $- \frac{1}{2} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{2} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.5.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.5.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 1}{1} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.5.3.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - - \int e^{- 2 x} (x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.5.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + 1 \int e^{- 2 x} (x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.5.5

Умножим $\int e^{- 2 x} (x) d x$ на $1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + \int e^{- 2 x} (x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.7.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.8

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.9.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.10

Пусть $u_{1} = - 2 x$ . Тогда $d u_{1} = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Пусть $u_{1} = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 7.10.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 7.10.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 7.10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.11.2

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.13

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.14.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.15

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Этап 7.16

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{- 2 x} d x$

Этап 7.17

Пусть $u_{2} = - 2 x$ . Тогда $d u_{2} = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.17.1

Пусть $u_{2} = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.17.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 7.17.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.17.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 7.17.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 7.17.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 7.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.18.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 7.18.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 7.19

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Этап 7.20

Умножим $- 1$ на $5$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 5 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 7.21

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 5 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 7.22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.22.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 5$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.22.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - \frac{5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.23

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - \frac{5}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 7.24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.24.1

Упростим.

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 7.24.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.24.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2}}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 7.24.2.2

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 7.24.2.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 7.24.2.4

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 7.25

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.25.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 7.25.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Этап 7.26

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.26.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Этап 7.26.2

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{5}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$

Этап 7.27

Изменим порядок членов.

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x}}{2} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Этап 8.1.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Этап 8.1.3

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Этап 8.1.4

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Этап 8.1.5

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Этап 8.1.6

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{5}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$

Этап 8.2

Разделим каждый член $e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$ на $e^{- 2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$ на $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.2

Перенесем $5$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.3

Чтобы записать $- \frac{5 e^{- 2 x}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.1

Умножим $\frac{5 e^{- 2 x}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- e^{- 2 x} - 5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.5.2.1.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- e^{- 2 x} - 5 e^{- 2 x} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 1 - 5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.5.2.1.1.2

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- 5 e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 1 + e^{- 2 x} (- 5 \cdot 2)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.5.2.1.1.3

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $e^{- 2 x} \cdot - 1 + e^{- 2 x} (- 5 \cdot 2)$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 1 - 5 \cdot 2)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.5.2.1.2

Умножим $- 5$ на $2$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 1 - 10)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.5.2.1.3

Вычтем $10$ из $- 1$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.5.2.2

Перенесем $- 11$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 11 \cdot e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{- x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.2

Вынесем множитель $x e^{- 2 x}$ из $- x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $x e^{- 2 x}$ из $- x^{2} e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x) - x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.2.2

Вынесем множитель $x e^{- 2 x}$ из $- x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x) + x e^{- 2 x} (- 1)}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.2.3

Вынесем множитель $x e^{- 2 x}$ из $x e^{- 2 x} (- x) + x e^{- 2 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.3

Чтобы записать $\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.4.1

Умножим $\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1) \cdot 2}{4} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{(x e^{- 2 x} (- x) + x e^{- 2 x} \cdot - 1) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{(- x e^{- 2 x} x + x e^{- 2 x} \cdot - 1) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6.3

Перенесем $- 1$ влево от $x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{(- x e^{- 2 x} x - 1 \cdot (x e^{- 2 x})) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.6.4.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.6.4.1.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{\frac{(- (x \cdot x) e^{- 2 x} - 1 \cdot (x e^{- 2 x})) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{\frac{(- x^{2} e^{- 2 x} - 1 \cdot (x e^{- 2 x})) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6.4.2

Перепишем $- 1 (x e^{- 2 x})$ в виде $- (x e^{- 2 x})$ .

$y = \frac{\frac{(- x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{- x^{2} e^{- 2 x} \cdot 2 - x e^{- 2 x} \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{\frac{- 2 x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{\frac{- 2 x^{2} e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6.8

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- 2 x^{2} e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} - 11 e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.6.8.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- 2 x^{2} e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) - 2 x e^{- 2 x} - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6.8.2

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- 2 x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x) - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6.8.3

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- 11 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6.8.4

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x)$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.6.8.5

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.7

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.8

Объединим $C$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.10.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.10.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.10.2.3

Перенесем $- 11$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 \cdot e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.6.10.3

Перенесем $4$ влево от $C$ .

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.8

Умножим $\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ на $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 e^{- 2 x} x^{2}$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2}) - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 e^{- 2 x} x$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2}) - (2 e^{- 2 x} x) - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 e^{- 2 x} x^{2}) - (2 e^{- 2 x} x)$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x) - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- 11 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x) - (11 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x) - (11 e^{- 2 x})$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.14

Вынесем множитель $- 1$ из $4 C$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.15

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.16.1

Перепишем $- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)$ в виде $- 1 (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)$ .

$y = \frac{- 1 (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.16.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.3.16.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = - \frac{2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x} + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$