Математический анализ Примеры

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ на $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ на $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - 4 x^{2}}}$

Этап 1.1.3.1.2

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

Этап 1.1.3.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

Этап 1.1.3.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Этап 1.1.3.2

Умножим $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Этап 1.1.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Этап 1.1.3.3.2

Возведем $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Этап 1.1.3.3.3

Возведем $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

Этап 1.1.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

Этап 1.1.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ в виде $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ в виде ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.1.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.1.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

Этап 1.1.3.3.6.5

Упростим.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . Тогда $d u = - 8 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + 2 x) (1 - 2 x)]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + 2 x$ и $g (x) = 1 - 2 x$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 2.3.1.1.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 2.3.1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 2.3.1.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.6.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(1 + 2 x) \cdot - 2 + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 2.3.1.1.3.6.2

Перенесем $- 2$ влево от $1 + 2 x$ .

$- 2 \cdot (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 2.3.1.1.3.7

По правилу суммы производная $1 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.1.1.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.1.1.3.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.1.1.3.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.1.1.3.11

Перенесем $2$ влево от $1 - 2 x$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 \cdot (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x) \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.3.13

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x)$

Этап 2.3.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 (1 - 2 x)$

Этап 2.3.1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Этап 2.3.1.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.3.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Этап 2.3.1.1.4.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 2 - 4 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Этап 2.3.1.1.4.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 - 4 x + 2 + 2 (- 2 x)$

Этап 2.3.1.1.4.3.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 2 - 4 x + 2 - 4 x$

Этап 2.3.1.1.4.3.5

Добавим $- 2$ и $2$ .

$- 4 x + 0 - 4 x$

Этап 2.3.1.1.4.3.6

Добавим $- 4 x$ и $0$ .

$- 4 x - 4 x$

Этап 2.3.1.1.4.3.7

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$- 8 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Этап 2.3.2.2

Умножим $\frac{\sqrt{u}}{u}$ на $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 8} d u$

Этап 2.3.2.3

Перенесем $8$ влево от $u$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Перенесем $u^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.5.3.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.5.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.5.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + K$