Математический анализ Примеры

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \cos (t) + \frac{\sin (t)}{t}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d s}{d t} + M (t) s = Q (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Этап 1.2

Вынесем множитель $s$ из $\frac{s}{t}$ .

$\frac{d s}{d t} + s \frac{1}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Этап 1.3

Изменим порядок $s$ и $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d s}{d t} + \frac{1}{t} s = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = \frac{1}{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (t)}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$t$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $t$ .

$t \frac{d s}{d t} + t (\frac{1}{t} s) = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{t}$ и $s$ .

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$t \frac{d s}{d t} + s = \sin (t) + t \cos (t)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [t s] = \sin (t) + t \cos (t)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [t s] d t = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$t s = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$t s = \int \sin (t) d t + \int t \cos (t) d t$

Этап 7.2

Интеграл $\sin (t)$ по $t$ имеет вид $- \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + \int t \cos (t) d t$

Этап 7.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t$ и $d v = \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - \int \sin (t) d t$

Этап 7.4

Интеграл $\sin (t)$ по $t$ имеет вид $- \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - (- \cos (t) + C)$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим.

$t s = - \cos (t) + t \sin (t) + \cos (t) + C$

Этап 7.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Добавим $- \cos (t)$ и $\cos (t)$ .

$t s = t \sin (t) + 0 + C$

Этап 7.5.2.2

Добавим $t \sin (t)$ и $0$ .

$t s = t \sin (t) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $t s = t \sin (t) + C$ на $t$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $t s = t \sin (t) + C$ на $t$ .

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $s$ на $1$ .

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Этап 8.3.1.2

Разделим $\sin (t)$ на $1$ .

$s = \sin (t) + \frac{C}{t}$