Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 + 3 y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{2 + 3 y}$ .

$\frac{1}{2 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + 3 y} (2 + 3 y)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $2 + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + 3 y} (2 + 3 y)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 + 3 y} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{2 + 3 y} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{2 + 3 y} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 2 + 3 y$ . Тогда $d u = 3 d y$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 2 + 3 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 + 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + 3 y]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $2 + 3 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Этап 2.2.1.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$0 + 3$

Этап 2.2.1.1.4

Добавим $0$ и $3$ .

$3$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $2 + 3 y$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 2 + 3 y |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} \ln (| 2 + 3 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 2 + 3 y |) = x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 2 + 3 y |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} \ln (| 2 + 3 y |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (| 2 + 3 y |)$ .

$3 \frac{\ln (| 2 + 3 y |)}{3} = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{\ln (| 2 + 3 y |)}{3} = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 2 + 3 y |) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 2 + 3 y |) = 3 x + 3 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 2 + 3 y |)} = e^{3 x + 3 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| 2 + 3 y |) = 3 x + 3 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + 3 C} = | 2 + 3 y |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| 2 + 3 y | = e^{3 x + 3 C}$ .

$| 2 + 3 y | = e^{3 x + 3 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 + 3 y = \pm e^{3 x + 3 C}$

Этап 3.5.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 y = \pm e^{3 x + 3 C} - 2$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $3 y = \pm e^{3 x + 3 C} - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $3 y = \pm e^{3 x + 3 C} - 2$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x + 3 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x + 3 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{3 x + 3 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\pm e^{3 x + 3 C}}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 3.5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{3 x + 3 C} - 2}{3}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\pm e^{3 x + C} - 2}{3}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{3 x + C}$ в виде $e^{3 x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{3 x} e^{C} - 2}{3}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{3 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{3 x} - 2}{3}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \frac{C e^{3 x} - 2}{3}$