Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2 y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{y \cdot 2}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{y \cdot 2}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (x) + \sin (x) d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int \cos (x) d x + \int \sin (x) d x)$

Этап 2.3.3

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{2} + \int \sin (x) d x)$

Этап 2.3.4

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{2} - \cos (x) + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \sin (x) + \frac{1}{2} (- \cos (x)) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x)}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x)) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x)}{2} + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x)}{2} + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \sin (x) + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\cos (x)}{2}$ в числитель.

$y^{2} = \sin (x) + 2 \frac{- \cos (x)}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = \sin (x) + 2 \frac{- \cos (x)}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \sin (x) - \cos (x) + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + K}$