Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

Этап 1.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y}{x}$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{2 y}{x}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot 2$

Этап 1.3.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + 2 \cdot \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} + 2 \cdot V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} + 2 \cdot V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} + 2 V$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 2 V - V$

Этап 6.1.1.2.2

Вычтем $V$ из $2 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x}$

Этап 6.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Чтобы записать $\frac{V}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x} \cdot \frac{V}{V}$

Этап 6.1.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $V x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Умножим $\frac{V}{x}$ на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{x V}$

Этап 6.1.2.2.2

Изменим порядок множителей в $x V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{V x}$

Этап 6.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V \cdot V}{V x}$

Этап 6.1.2.4

Умножим $V$ на $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Этап 6.1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.4

Умножим обе части на $\frac{V}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} (\frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Умножим $\frac{1 + V^{2}}{V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Этап 6.1.5.2

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.2.1

Вынесем множитель $V$ из $V x$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V (x)}$

Этап 6.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Этап 6.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Этап 6.1.5.3

Сократим общий множитель $1 + V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Этап 6.1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{V}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Пусть $u = 1 + V^{2}$ . Тогда $d u = 2 V d V$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Пусть $u = 1 + V^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Этап 6.2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + V^{2}$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Этап 6.2.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $V$ , производная $1$ относительно $V$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Этап 6.2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Этап 6.2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $2 V$ .

$2 V$

Этап 6.2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $1 + V^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 1 + V^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 6.3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Этап 6.3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Упростим $\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.5

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Этап 6.3.6

Перепишем $\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}$

Этап 6.3.7

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Этап 6.3.7.2

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| 1 + V^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{2 C} x^{2}$ .

$| 1 + V^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

Этап 6.3.7.4

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.4.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 + V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

Этап 6.3.7.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

Этап 6.3.7.4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

Этап 6.4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$V = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

Этап 8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$