Математический анализ Примеры

$(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Этап 1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 4 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x y]$

Этап 2.2

Поскольку $4 y$ является константой относительно $x$ , производная $4 x y$ по $x$ равна $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $4 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 4 y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 y = 4 y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $4 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - (4 y)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $4 x y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $4 x y$ вместо $N$ .

$\frac{2 y - (4 y)}{4 x y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y - 1 \cdot 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$\frac{y \cdot 2 - 1 \cdot 4 y}{4 x y}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 1 \cdot 4 y$ .

$\frac{y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)}{4 x y}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{y (2 - 1 \cdot 4)}{4 x y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{y (2 - 4)}{4 x y}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $4$ из $2$ .

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{4 x}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4 x}$

Этап 4.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 x)}$

Этап 4.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x)}$

Этап 4.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{2 x}$

Этап 4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2 x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.4

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |)} + C$

Этап 5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- \frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Изменим порядок $\ln (| x |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| x |))} + C$

Этап 5.5.1.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} + C$

Этап 5.5.2

Упростим $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

Этап 5.5.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

Этап 5.5.4

Перемножим экспоненты в ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

Этап 5.5.4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

Этап 5.5.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{1}{2}} + C$

Этап 5.5.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x^{2} + y^{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x^{2} + y^{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $4 x y$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + x y \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Этап 6.4.2

Объединим $x$ и $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y \frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Этап 6.4.3

Объединим $y$ и $\frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{y (x \cdot 4)}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Этап 6.5

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x \cdot 4) x^{- \frac{1}{2}} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x \cdot 4) d y = 0$

Этап 6.6.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot 4) d y = 0$

Этап 6.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 4) d y = 0$

Этап 6.6.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

Этап 6.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

Этап 6.6.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4) d y = 0$

Этап 6.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 y x^{\frac{1}{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 y x^{\frac{1}{2}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = 4 y x^{\frac{1}{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $4 x^{\frac{1}{2}}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4 x^{\frac{1}{2}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \int y d y$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{\frac{1}{2}} \frac{4}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.2

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{4}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.3

Перенесем $4$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.4

Умножим $4$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.5

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.6.4

Разделим $2 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $2 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ по $x$ равна $2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 y^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.9

Объединим $2$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$y^{2} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.10

Объединим $y^{2}$ и $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y^{2} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.11

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot y^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.13

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3.14

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Упростим $\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.1.3

Объединим противоположные члены в $y^{2} - x^{2} - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1.3.1

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.1.3.2

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{1}{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.2.2.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{1}{2}} x^{2}) = 0$

Этап 12.1.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

Этап 12.1.1.2.2.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2.2.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.2.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2.2.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{3}{2}} = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $x^{\frac{3}{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$

Этап 13

Найдем первообразную $x^{\frac{3}{2}}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 13.3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$g (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 15.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$