Математический анализ Примеры

$2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ на $2 x^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ на $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Этап 1.1.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$

Этап 1.2.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

Этап 1.3

Разделим $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем дробь $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Этап 1.5

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Этап 1.5.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим $(\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Перепишем.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

Этап 6.1.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

Этап 6.1.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.3.1

Умножим $V$ на $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot V^{2} + \frac{3}{2}) V$

Этап 6.1.1.1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{V^{2}}{2} + \frac{3}{2}) V$

Этап 6.1.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2}}{2} V + \frac{3}{2} V$

Этап 6.1.1.1.5

Умножим $\frac{V^{2}}{2} V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.5.1

Объединим $\frac{V^{2}}{2}$ и $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V}{2} + \frac{3}{2} V$

Этап 6.1.1.1.5.2

Умножим $V^{2}$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.5.2.1

Умножим $V^{2}$ на $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.5.2.1.1

Возведем $V$ в степень $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V^{1}}{2} + \frac{3}{2} V$

Этап 6.1.1.1.5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2 + 1}}{2} + \frac{3}{2} V$

Этап 6.1.1.1.5.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3}{2} V$

Этап 6.1.1.1.6

Объединим $\frac{3}{2}$ и $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2}$

Этап 6.1.1.2

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Чтобы записать $- V$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3

Объединим $- V$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - 2 V}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.7

Вычтем $2 V$ из $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + V}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.8

Вынесем множитель $V$ из $V^{3} + V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.8.1

Вынесем множитель $V$ из $V^{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.8.2

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V^{1}}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.8.3

Вынесем множитель $V$ из $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V \cdot 1}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.8.4

Вынесем множитель $V$ из $V \cdot V^{2} + V \cdot 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V^{2} + 1)}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.10

Объединим.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1) \cdot 1}{2 x}$

Этап 6.1.1.3.3.11

Умножим $V$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{V (V^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V^{2} + 1)} \cdot \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

Этап 6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Объединим.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

Этап 6.1.3.2

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

Этап 6.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

Этап 6.1.3.3

Сократим общий множитель $V^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

Этап 6.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $V (V^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $V^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.5.1.2

Разделим $A (V^{2} + 1)$ на $1$ .

$1 = A (V^{2} + 1) + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A V^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.5.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.5.4

Сократим общий множитель $V^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.5.4.2

Разделим $(B V + C) (V)$ на $1$ .

$1 = A V^{2} + A + (B V + C) (V)$

Этап 6.2.2.1.1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A V^{2} + A + B V \cdot V + C V$

Этап 6.2.2.1.1.5.6

Умножим $V$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.5.6.1

Перенесем $V$ .

$1 = A V^{2} + A + B (V \cdot V) + C V$

Этап 6.2.2.1.1.5.6.2

Умножим $V$ на $V$ .

$1 = A V^{2} + A + B V^{2} + C V$

Этап 6.2.2.1.1.6

Перенесем $A$ .

$1 = A V^{2} + B V^{2} + C V + A$

Этап 6.2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $V^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 6.2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $V$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 6.2.2.1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $V$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 6.2.2.1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Этап 6.2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Этап 6.2.2.1.3.2

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Этап 6.2.2.1.3.3

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 6.2.2.1.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 6.2.2.1.3.4

Решим относительно $B$ в $0 = 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 6.2.2.1.3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 6.2.2.1.3.5

Решим систему уравнений.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Этап 6.2.2.1.3.6

Перечислим все решения.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Этап 6.2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- 1 V + 0}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{V} + \frac{(- 1) \cdot V + 0}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.5.2.1

Перепишем $- 1 V$ в виде $- V$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- V + 0}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.5.2.2

Добавим $- V$ и $0$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- V}{V^{2} + 1}$

Этап 6.2.2.1.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{V} - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{V} d V + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.3

Интеграл $\frac{1}{V}$ по $V$ имеет вид $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.5

Пусть $u = V^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 V d V$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Пусть $u = V^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1.1

Дифференцируем $V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

Этап 6.2.2.5.1.2

По правилу суммы производная $V^{2} + 1$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 6.2.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 6.2.2.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $V$ , производная $1$ относительно $V$ равна $0$ .

$2 V + 0$

Этап 6.2.2.5.1.5

Добавим $2 V$ и $0$ .

$2 V$

Этап 6.2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.6.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| V |) + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.9

Упростим.

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.10

Заменим все вхождения $u$ на $V^{2} + 1$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.11

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{4})$

Этап 6.2.3.3

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Этап 8

Решим $- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим выражения в уравнении.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Объединим $\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Этап 8.1.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| x |)$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Этап 8.2

Каждый член в $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим каждый член $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ на $2$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2}$ в числитель.

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 8.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 8.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 8.2.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $\ln (| \frac{y}{x} |)$ .

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 8.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C \cdot 2$

Этап 8.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + 2 C$

Этап 8.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

Этап 8.4

Применим правило умножения к $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

Этап 8.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Упростим $- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.1.1

Упростим $2 \ln (| \frac{y}{x} |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({| \frac{y}{x} |}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

Этап 8.5.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| \frac{y}{x} |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({(\frac{y}{x})}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

Этап 8.5.1.1.3

Применим правило умножения к $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}}) - \ln (| x |) = 2 C$

Этап 8.5.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{\frac{y^{2}}{x^{2}}}{| x |}) = 2 C$

Этап 8.5.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = 2 C$

Этап 8.5.1.3.2

Объединим.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2} | x |}) = 2 C$

Этап 8.5.1.3.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C$

Этап 8.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})} = e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}$

Этап 8.7

Перепишем $\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)} = \frac{y^{2}}{x^{2} | x |}$

Этап 8.8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Этап 8.8.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.2.1

Развернем $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ , вынося $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ из логарифма.

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Этап 8.8.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Этап 8.8.2.3

Умножим $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ на $1$ .

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Этап 8.8.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) - \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = - 2 C$

Этап 8.8.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |}{\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}}) = - 2 C$

Этап 8.8.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (\frac{x^{2} | x |}{y^{2}})) = - 2 C$

Этап 8.8.6

Умножим $| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | \frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.6.1

Объединим $| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |$ и $\frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (x^{2} | x |)}{y^{2}}) = - 2 C$

Этап 8.8.6.2

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (\frac{x^{2} | (\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1) x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Этап 8.8.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Этап 8.8.7.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.7.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Этап 8.8.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Этап 8.8.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Этап 8.8.7.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Этап 8.8.8

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.8.1

Развернем $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ , вынося $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ из логарифма.

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Этап 8.8.8.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Этап 8.8.8.3

Умножим $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ на $1$ .

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$