Математический анализ Примеры

$\frac{d s}{d t} = 5 \sqrt{s}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{s}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{\sqrt{s}} (5 \sqrt{s})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{1}{\sqrt{s}} \sqrt{s}$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{s}}$ на $\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{s}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 (\frac{1}{\sqrt{s}} \cdot \frac{\sqrt{s}}{\sqrt{s}}) \sqrt{s}$

Этап 1.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{s}}$ на $\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{s}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{\sqrt{s} \sqrt{s}} \sqrt{s}$

Этап 1.2.3.2

Возведем $\sqrt{s}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{\sqrt{s}}^{1} \sqrt{s}} \sqrt{s}$

Этап 1.2.3.3

Возведем $\sqrt{s}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{\sqrt{s}}^{1} {\sqrt{s}}^{1}} \sqrt{s}$

Этап 1.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{\sqrt{s}}^{1 + 1}} \sqrt{s}$

Этап 1.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{\sqrt{s}}^{2}} \sqrt{s}$

Этап 1.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{s}}^{2}$ в виде $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{s}$ в виде $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{(s^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{s}$

Этап 1.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{s}$

Этап 1.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s^{\frac{2}{2}}} \sqrt{s}$

Этап 1.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s^{\frac{2}{2}}} \sqrt{s}$

Этап 1.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s^{1}} \sqrt{s}$

Этап 1.2.3.6.5

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s} \sqrt{s}$

Этап 1.2.4

Объединим $5$ и $\frac{\sqrt{s}}{s}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 \sqrt{s}}{s} \sqrt{s}$

Этап 1.2.5

Умножим $\frac{5 \sqrt{s}}{s} \sqrt{s}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Объединим $\frac{5 \sqrt{s}}{s}$ и $\sqrt{s}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 \sqrt{s} \sqrt{s}}{s}$

Этап 1.2.5.2

Возведем $\sqrt{s}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 ({\sqrt{s}}^{1} \sqrt{s})}{s}$

Этап 1.2.5.3

Возведем $\sqrt{s}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 ({\sqrt{s}}^{1} {\sqrt{s}}^{1})}{s}$

Этап 1.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 {\sqrt{s}}^{1 + 1}}{s}$

Этап 1.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 {\sqrt{s}}^{2}}{s}$

Этап 1.2.6

Перепишем ${\sqrt{s}}^{2}$ в виде $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{s}$ в виде $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 {(s^{\frac{1}{2}})}^{2}}{s}$

Этап 1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{s}$

Этап 1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s^{\frac{2}{2}}}{s}$

Этап 1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s^{\frac{2}{2}}}{s}$

Этап 1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s^{1}}{s}$

Этап 1.2.6.5

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s}{s}$

Этап 1.2.7

Сократим общий множитель $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s}{s}$

Этап 1.2.7.2

Разделим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{s}} d s = 5 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{s}} d s = \int 5 d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{s}$ в виде $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{s^{\frac{1}{2}}} d s = \int 5 d t$

Этап 2.2.1.2

Вынесем $s^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(s^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d s = \int 5 d t$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(s^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int s^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d s = \int 5 d t$

Этап 2.2.1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int s^{\frac{- 1}{2}} d s = \int 5 d t$

Этап 2.2.1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int s^{- \frac{1}{2}} d s = \int 5 d t$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $s^{- \frac{1}{2}}$ по $s$ имеет вид $2 s^{\frac{1}{2}}$ .

$2 s^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 5 d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 s^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 5 t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$2 s^{\frac{1}{2}} = 5 t + K$

Этап 3

Решим относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 s^{\frac{1}{2}} = 5 t + K$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $2 s^{\frac{1}{2}} = 5 t + K$ на $2$ .

$\frac{2 s^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 s^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $s^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$s^{\frac{1}{2}} = \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(s^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим ${(s^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(s^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$s^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$s^{1} = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим.

$s = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем ${(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ в виде $(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$ .

$s = (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Развернем $(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$s = \frac{5 t}{2} (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$s = \frac{5 t}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$s = \frac{5 t}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.1

Умножим $\frac{5 t}{2} \cdot \frac{5 t}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.1.1

Умножим $\frac{5 t}{2}$ на $\frac{5 t}{2}$ .

$s = \frac{5 t (5 t)}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.2

Умножим $5$ на $5$ .

$s = \frac{25 t \cdot t}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$s = \frac{25 (t^{1} t)}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.4

Возведем $t$ в степень $1$ .

$s = \frac{25 (t^{1} t^{1})}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s = \frac{25 t^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.7

Умножим $2$ на $2$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2

Умножим $\frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.2.1

Умножим $\frac{5 t}{2}$ на $\frac{K}{2}$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.3

Умножим $\frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.3.1

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{5 t}{2}$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{K (5 t)}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{K (5 t)}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4

Перенесем $5$ влево от $K$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 \cdot K t}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5

Умножим $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.5.1

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{K}{2}$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5.2

Возведем $K$ в степень $1$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5.3

Возведем $K$ в степень $1$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5.6

Умножим $2$ на $2$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Добавим $\frac{5 t K}{4}$ и $\frac{5 K t}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.2.1

Перенесем $t$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2.2

Добавим $\frac{5 K t}{4}$ и $\frac{5 K t}{4}$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + 2 \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + 2 \frac{5 K t}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + 2 \frac{5 K t}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 K t}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.4

Упростим $\frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 K t}{2} + \frac{K^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $\frac{25 t^{2}}{4}$ .

$s = \frac{5 K t}{2} + \frac{K^{2}}{4} + \frac{25 t^{2}}{4}$

Этап 3.4.2

Изменим порядок $\frac{5 K t}{2}$ и $\frac{K^{2}}{4}$ .

$s = \frac{K^{2}}{4} + \frac{5 K t}{2} + \frac{25 t^{2}}{4}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$s = K + \frac{K t}{2} + \frac{25 t^{2}}{4}$