Математический анализ Примеры

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 4 x$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$e^{y} d y = 4 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int e^{y} d y = \int 4 x d x$

Этап 2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 4 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + C_{1} = 4 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y} = 2 x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (2 x^{2} + K)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (2 x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (2 x^{2} + K)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (2 x^{2} + K)$