Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) e^{x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) e^{x})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $1 + y^{2}$ из $(1 + y^{2}) e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (e^{x}))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) e^{x})$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = e^{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int e^{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int e^{x} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int e^{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arctan (y) = e^{x} + K$

Этап 3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (e^{x} + K)$