Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 10 - x$ , $y (0) = - 1$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (10 - x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 10 - x d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 10 - x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 10 d x + \int - x d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} + \int - x d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - \int x d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$y + C_{1} = 10 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $- 1$ вместо $y$ в $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ .

$- 1 = - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Этап 4.2

Упростим $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Этап 4.2.1.3

Умножим $10$ на $0$ .

$0 + 0 + K = - 1$

Этап 4.2.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + K = - 1$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = - 1$

Этап 5

Подставим $- 1$ вместо $K$ в $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 1$ вместо $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x - 1$

Этап 5.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 10 x - 1$