Математический анализ Примеры

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = \frac{x}{y} - \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y} - \sin (y)]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $\frac{x}{y} - \sin (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{y}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{y}$ по $x$ равна $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Этап 2.3.3

Умножим $\frac{1}{y}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- \sin (y)$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (y)$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $\frac{1}{y}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $\frac{1}{y}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = \frac{1}{y}$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$0 = \frac{1}{y}$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{1}{y}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\frac{1}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{M}$

Этап 4.3

Подставим $1$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $1$ вместо $M$ .

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{1}$

Этап 4.3.2

Разделим $\frac{1}{y} + 0$ на $1$ .

$\frac{1}{y} + 0$

Этап 4.3.3

Подставим $1$ вместо $M$ .

$\frac{1}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Этап 5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Этап 5.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | y | + C$

Этап 6

Умножим $1$ на $y$ .

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y x + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x - y \sin (y)$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x - y \sin (y)$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $y x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Этап 11.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x - y \sin (y)$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x = x - y \sin (y)$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = x - y \sin (y) - x$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $x - y \sin (y) - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y) + 0$

Этап 12.1.2.2

Добавим $- y \sin (y)$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$

Этап 13

Найдем первообразную $- y \sin (y)$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y \sin (y) d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y \sin (y) d y$

Этап 13.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int y \sin (y) d y$

Этап 13.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = \sin (y)$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - \int - \cos (y) d y)$

Этап 13.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - - \int \cos (y) d y)$

Этап 13.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + 1 \int \cos (y) d y)$

Этап 13.6.2

Умножим $\int \cos (y) d y$ на $1$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \int \cos (y) d y)$

Этап 13.7

Интеграл $\cos (y)$ по $y$ имеет вид $\sin (y)$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$

Этап 13.8

Перепишем $- (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$ в виде $- (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$ .

$g (y) = - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y)) - \sin (y) + C$

Этап 15.2

Умножим $- (- y \cos (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x, y) = y x + 1 (y \cos (y)) - \sin (y) + C$

Этап 15.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$f (x, y) = y x + y \cos (y) - \sin (y) + C$