Математический анализ Примеры

$7 y \frac{d y}{d x} = 2 x^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$7 y d y = 2 x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 7 y d y = \int 2 x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int y d y = \int 2 x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 2 x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 2 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2

Объединим $7$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{7}{2} y^{2} = \frac{2}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2}) = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{7}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 y^{2}}{2} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Объединим.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.4.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $\frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{7} (\frac{2 x^{3}}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = \frac{2}{7} \cdot \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2}{7} K$

Этап 3.2.2.1.1.3

Объединим.

$y^{2} = \frac{2 (2 x^{3})}{7 \cdot 3} + \frac{2}{7} K$

Этап 3.2.2.1.1.4

Объединим $\frac{2}{7}$ и $K$ .

$y^{2} = \frac{2 (2 x^{3})}{7 \cdot 3} + \frac{2 K}{7}$

Этап 3.2.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$y^{2} = \frac{2^{2} x^{3}}{7 \cdot 3} + \frac{2 K}{7}$

Этап 3.2.2.1.2.2

Умножим $7$ на $3$ .

$y^{2} = \frac{2^{2} x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}$

Этап 3.2.2.1.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y^{2} = \frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $\frac{2 K}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7} \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $21$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $\frac{2 K}{7}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K \cdot 3}{7 \cdot 3}}$

Этап 3.4.2.2

Умножим $7$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K \cdot 3}{21}}$

Этап 3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3} + 2 K \cdot 3}{21}}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{21}}$

Этап 3.4.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{21}}$

Этап 3.4.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + K \cdot 3)}{21}}$

Этап 3.4.4.2

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + 3 K)}{21}}$

Этап 3.4.5

Перепишем $\sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + 3 K)}{21}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$

Этап 3.4.6

Умножим $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$ на $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

Этап 3.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$ на $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Этап 3.4.7.2

Возведем $\sqrt{21}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}}$

Этап 3.4.7.3

Возведем $\sqrt{21}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}}$

Этап 3.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Этап 3.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{21}}^{2}$ в виде $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{21}$ в виде $21^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{1}}$

Этап 3.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21}$

Этап 3.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K) \cdot 21}}{21}$

Этап 3.4.8.2

Умножим $21$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + K)}}{21}$