Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{3 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{3})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{3}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{3}{x}$ и $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = e^{x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = e^{x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$x^{3} y = \int e^{x} d x$

Этап 7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$x^{3} y = e^{x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $x^{3} y = e^{x} + C$ на $x^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $x^{3} y = e^{x} + C$ на $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{e^{x}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{e^{x}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$