Математический анализ Примеры

$\frac{d L}{d t} = {kL}^{2} \ln (t)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d L = {kL}^{2} \ln (t) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d L = \int {kL}^{2} \ln (t) d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$L + C_{1} = \int {kL}^{2} \ln (t) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку ${kL}^{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем ${kL}^{2}$ из-под знака интеграла.

$L + C_{1} = {kL}^{2} \int \ln (t) d t$

Этап 2.3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (t)$ и $d v = 1$ .

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t)$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Объединим $t$ и $\frac{1}{t}$ .

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t)$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t)$

Этап 2.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - \int d t)$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - (t + C_{2}))$

Этап 2.3.5

Упростим.

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - t) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$L = {kL}^{2} (\ln (t) t - t) + K$