Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cos^{2} (y)$ , $y (0) = \frac{π}{4}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos (x) \cos^{2} (y))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $\cos^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\cos^{2} (y)$ из $\cos (x) \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ в $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.2

Поскольку производная $\tan (y)$ равна $\sec^{2} (y)$ , интеграл $\sec^{2} (y)$ равен $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sin (x) + K = \tan (y)$ .

$\sin (x) + K = \tan (y)$

Этап 3.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = \tan (y) - K$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$x = \arcsin (\tan (y) - K)$

Этап 3.4

Перепишем уравнение в виде $\arcsin (\tan (y) - K) = x$ .

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Этап 3.5

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\tan (y)$ из арксинуса.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Этап 3.6

Добавим $K$ к обеим частям уравнения.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Этап 3.7

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Этап 3.8

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Этап 3.9

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\tan (y)$ из арксинуса.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Этап 3.10

Добавим $K$ к обеим частям уравнения.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Этап 3.11

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Этап 4

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $\frac{π}{4}$ вместо $y$ в $y = \arctan (\sin (x) + K)$ .

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$

Этап 5

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$ .

$\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$

Этап 5.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $K$ из синуса.

$\sin (0) + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Этап 5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим $\sin (0) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Этап 5.3.1.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Этап 5.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{π}{4})$ .

$K = 0.90333911$

Этап 5.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Этап 5.6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Избавимся от скобок.

$K = 3.14159265 - 0.90333911$

Этап 5.6.2

Избавимся от скобок.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Этап 5.6.3

Вычтем $0.90333911$ из $3.14159265$ .

$K = 2.23825354$

Этап 5.7

Исключим решения, которые не делают $\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$ истинным.

$Нет решения$